Универсальные математические пакеты — это программные системы, предназначенные для решения широкого круга математических задач и научных вычислений. Они объединяют в себе мощные инструменты для численного и аналитического анализа, визуализации данных, оптимизации, обработки сигналов, моделирования и программирования.
Главная особенность таких пакетов — универсальность и гибкость: они позволяют работать с самыми разными типами задач и использовать различные методы, от классических вычислений до современных алгоритмов машинного обучения и символьной математики.
Математические пакеты - это программы (пакеты программ), обладающие средствами выполнения различных численных и аналитических (символьных) математических расчетов, от простых арифметических вычислений, до решения уравнений с частными производными, решения задач оптимизации, проверки статистических гипотез, средствами конструирования математических моделей и другими инструментами, необходимыми для проведения разнообразных технических расчетов. Все они имеют развитые графические средства, удобную справочную систему, а также средства оформления отчетов.
Условно эти пакеты можно разбить на две группы: программы символьной математики и программы численного решения задач.
Программы численного решения задач предназначены для решения математических задач с использованием численных методов. К таким пакетам относятся: Statistica, SPSS, SAS, Stadia, Statgraphics, Matlab и др.. Некоторые пакеты, такие как MathCAD, Maple, Maxima и Mathematica, включают в себя как возможности пакетов символьной математики, так и пакетов с использованием численных методов.
Для наиболее мощных и распространенных пакетов (MatLab, MathCad, Maple) характерны следующие технические свойства:
- широкий набор арифметических и логических операций;
- многообразные алгебраические, тригонометрические, гиперболические, статистические и другие функции;
- обширный набор операций с матрицами;
- средства решения оптимизационных задач;
- разнообразный аппарат символьной алгебры (операции с полиномами, разложение в ряд, символьное дифференцирование и интегрирование);
- средства решения дифференциальных уравнений;
- встроенные языки программирования;
- использование последних достижений фундаментальной и прикладной науки;
- разнообразные инструменты для наглядного представления результатов вычислений (графики, диаграммы, динамические изображения, звук);
- наличие справочных систем, словарей терминов, демонстрационных примеров и встроенных учебников;
- сетевое обеспечение разработок на соответствующих страницах Web-серверов;
- возможность создавать в своей среде гипертекстовые программные продукты.
К эргономическим свойствам математических пакетов относят: возможность использования в процессе обучения трехмерной когнитивной компьютерной графики и звука; «дружелюбный» графический интерфейс пакетов; широкие возможности использования гипертекстовых связей для обеспечения целостности представления учебного материала.
К недостаткам пакета Mathematica следует отнести весьма необычный язык программирования, обращение к которому облегчает подробная система помощи.
Примеры пакетов
MATLAB — одна из самых популярных платформ для численных расчетов, с удобным языком программирования и огромным набором готовых функций для инженерии, физики, экономики и других областей. MATLAB часто используется для моделирования систем, анализа данных, обработки изображений и управления.
Изначально этот пакет создавался для выполнения матричных операций, что и отразилось в его названии MATrix LABoratory, т.е. матричная лаборатория. Однако синтаксис языка программирования пакета продуман так, что его могут использовать пользователи, которых не интересуют непосредственно матричные вычисления.
Пакет MatLab относится к среднему уровню продуктов, предназначенных для символьной математики, но рассчитан на широкое применение в сфере CAE (то есть он силен и в других областях).
В процессе эволюции пакета от версии к версии он дополнялся библиотеками, обеспечивающими в Matlab уникальные для математических пакетов функции.
В дополнение к мощным вычислительным средствам у фирмы Waterloo Maple по лицензии было приобретено ядро символьных преобразований, а так же появились библиотеки, которые обеспечивают уникальные для математических пакетов функции. Например, широко известная библиотека Simulink, реализуя принцип визуального программирования, позволяет построить логическую схему сложной системы управления из одних только стандартных блоков, не написав при этом ни строчки кода. После конструирования такой схемы можно детально проанализировать ее работу.
В пакете MatLab также существуют широкие возможности для программирования. Его библиотека C Math (компилятор MatLab) является объектной и содержит свыше 300 процедур обработки данных на языке C. Внутри пакета можно использовать как процедуры самого MatLab, так и стандартные процедуры языка C, что делает этот инструмент мощнейшим подспорьем при разработке приложений (используя компилятор C Math, можно встраивать любые процедуры MatLab в готовые приложения). При этом все библиотеки MatLab отличаются высокой скоростью численных вычислений.
Библиотека C Math позволяет пользоваться следующими категориями функций:
- операции с матрицами;
- решение линейных уравнений;
- разложение операторов и поиск собственных значений;
- элементарная математика;
- функции beta, gamma, erf и эллиптические функции;
- основы статистики и анализа данных;
- фильтрация, свертка;
- быстрое преобразование Фурье (FFT);
- интерполяция;
- операции со строками;
- операции ввода-вывода файлов и т.д.
Все библиотеки MatLab отличаются высокой скоростью численных вычислений. Учитывая, что матрицы широко применяются не только в решении задач линейной алгебры и математического моделирования, обсчета статических и динамических систем и объектов, MatLab давно уже вышел за рамки специализированной матричной системы, превратившись в один из наиболее мощных универсальных интегрированных пакетов компьютерной математики.
К недостаткам пакета MatLab можно отнести очень много окон, с которыми лучше работать на двух мониторах, не очень внятную и громоздкую справочную систему ( объем фирменной документации достигает 5 тыс. страниц, что делает ее трудно обозримой) и специфический редактор кода MatLab-программ.
Сегодня пакет MatLab широко используется в технике, науке и образовании. Но он больше подходит для анализа данных и организации вычислений.
Mathematica — система, ориентированная на символьные вычисления, то есть способная выполнять аналитические преобразования, решать уравнения в точном виде, а также строить графики и проводить численные эксперименты. Подходит для теоретических исследований и сложных математических выкладок.
Пакет разработан компанией Wolfram Reseach, Inc. и на сегодня рассматривается как мировой лидер среди компьютерных систем символьной математики для ПК, обеспечивающих не только возможности выполнения сложных численных расчетов с выводом их результатов в графическом виде, но и проведение особо трудоемких аналитических преобразований и вычислений.
Версии пакета под Windows имеют современный пользовательский интерфейс и позволяют готовить документы в форме Notebooks (записных книжек). Они объединяют исходные данные, описания алгоритмов решения задач, программ и результатов решения в самой разнообразной форме (математические формулы, числа, векторы, матрицы, таблицы и графики). При этом пакет обеспечивает динамическую связь между ячейками документов в стиле электронных таблиц даже при решении символьных задач, что принципиально и выгодно отличало его от других подобных пакетов.
Mathematica был задуман как пакет, максимально автоматизирующий труд научных работников и математиков-аналитиков. Он представляет собой мощный и гибкий математический инструментарий, который может оказать неоценимую помощь большинству научных работников, преподавателей университетов и вузов, студентов, инженеров и даже школьников.
С самого начала большое внимание уделялось графике, в том числе динамической, и даже возможностям мультимедиа — воспроизведению динамической анимации и синтезу звуков. Набор функций графики и изменяющих их действие опций очень широк. Графика является сильной стороной различных версий пакета Mathematica и обеспечивает им лидерство среди пакетов компьютерной математики. Поэтому Mathematica быстро заняла ведущие позиции на рынке символьных математических пакетов.
Mathematica — с одной стороны, типичная система программирования на базе одного из самых мощных проблемно-ориентированных языков функционального программирования высокого уровня, предназначенная для решения различных задач (в том числе и математических), а с другой — интерактивная система для решения большинства математических задач в диалоговом режиме без традиционного программирования.
Mathematica как система программирования имеет все возможности для разработки и создания практически любых управляющих структур, организации ввода-вывода, работы с системными функциями и обслуживания любых периферийных устройств, а с помощью пакетов расширения (Add-ons) появляется возможность подстраиваться под запросы любого пользователя.
Maple — пакет, похожий на Mathematica, с акцентом на символьные и численные вычисления, обучающие возможности и поддержку программирования. Его часто используют в образовании и науке.
Пакет Maple - один из первых пакетов символьной математики до сих пор является одним из лидеров среди универсальных систем символьных вычислений. Символьный анализатор пакета Maple является наиболее сильной частью этого ПО, поэтому именно он был позаимствован и включен в ряд других CAE-пакетов, таких как MathCad и MatLab, а также в состав пакетов для подготовки научных публикаций Scientific WorkPlace и Math Office for Word.
Пакет Maple — совместная разработка Университета Ватерлоо (шт. Онтарио, Канада) и Высшей технической школы (ETHZ, Цюрих, Швейцария).
Maple предоставляет удобную среду для компьютерных экспериментов, в ходе которых пробуются различные подходы к задаче, анализируются частные решения, а при необходимости программирования отбираются требующие особой скорости фрагменты. Пакет позволяет создавать интегрированные среды с участием других систем и универсальных языков программирования высокого уровня. Для оформления полученных результатов можно использовать средства пакета Maple для визуализации данных и подготовки иллюстраций для публикации. Кроме того, в пакете можно подготовить статью, отчет, книгу.
Работа в пакете проходит интерактивно: пользователь вводит команды и тут же видит на экране результат их выполнения. При этом пакет Maple совсем не похож на традиционную среду программирования, где требуется жесткая формализация всех переменных и действий с ними. Здесь автоматически обеспечивается выбор подходящих типов переменных и проверяется корректность выполнения операций, так что в общем случае не требуется описания переменных и строгой формализации записи.
Пакет Maple состоит из ядра (процедур, написанных на языке С), библиотеки, написанной на Maple-языке, и развитого внешнего интерфейса. Ядро выполняет большинство базовых операций, а библиотека содержит множество команд — процедур, выполняемых в режиме интерпретации.
Интерфейс Maple основан на концепции рабочего поля (worksheet) или документа, содержащего строки ввода-вывода и текст, а также графику.
Работа с пакетом происходит в режиме интерпретатора. В строке ввода пользователь задает команду, нажимает клавишу Enter и получает результат — строку (или строки) вывода либо сообщение об ошибочно введенной команде. Тут же выдается приглашение вводить новую команду и т.д.
Пакет Maple поддерживает как двумерную, так и трехмерную графику. Таким образом, можно представить явные, неявные и параметрические функции, а также многомерные функции и просто наборы данных в графическом виде и визуально искать закономерности.
К недостаткам пакета Maple можно отнести лишь ее некоторую «задумчивость», а также очень высокую стоимость этой программы (в зависимости от версии и набора библиотек цена ее доходит до нескольких десятков тысяч долларов).
Пакет MathCad популярен более в инженерной, чем в научной среде. Особенностью пакета является использование привычных стандартных математических обозначений, и документ на экране выглядит как обычный математический расчѐт на бумаге. Для использования пакета не требуется изучать какую-либо систему команд (как в пакете Mathematica или Maple). Пакет ориентирован в первую очередь на проведение численных расчетов, но имеет встроенный символьный процессор от Maple, что позволяет выполнять аналитические преобразования. В последних версиях предусмотрена возможность создавать связки документов MathCad с документами MATLAB.
В отличие от других пакетов, MathCad является средой визуального программирования, то есть не требует знания специфического набора команд. Простота освоения пакета, дружественный интерфейс, относительная непритязательность к возможностям компьютера явились главными причинами того, что именно этот пакет используют для обучения студентов численным методам.
MathCad — это, скорее, простой, но продвинутый редактор математических текстов с возможностями символьных вычислений и удобным интерфейсом. Однако возможности MathCad в области компьютерной алгебры намного уступают системам Maple, Mathematica, MatLab. По пакету MathCad выпущено много книг и обучающих курсов, в том числе в России.
MathCad не имеет языка программирования как такового, но зато интерфейс программы MathCad очень простой, а возможности визуализации богатые.
В пакете Mathcad имеется мощный математический аппарат. Он содержит базовые математические функции, включая матричное исчисление, тригонометрию, численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений, некоторые статистические алгоритмы, решение системы нелинейных уравнений, поиск экстремумов функциональных зависимостей и др.
Достоинством пакета является возможность записи условия задачи в привычной математической нотации. В пакете можно использовать буквы латинского и греческого алфавита. Имеется меню для различных математических символов.
Каждая страница документа может содержать текст, математические выражения, двумерные и трехмерные графики, связанные с выражениями рисунки, созданные в других Windows-приложениях. Это позволяет получить полный отчет о проделанной работе в среде пакета.
Также достоинством пакета является ‘живая ’ архитектура вычислений – при изменении значения переменной математическое выражение, в котором она используется, автоматически пересчитывается.
Python с библиотеками (NumPy, SciPy, SymPy, Matplotlib и др.) — открытая и очень гибкая среда для научных расчетов и моделирования. Благодаря активному сообществу и постоянному развитию, Python сегодня — один из самых популярных инструментов для математики, анализа данных и машинного обучения.
Математический пакет на основе Python с библиотеками — это мощная и универсальная экосистема для научных и инженерных расчетов, которая сегодня активно используется в моделировании, анализе данных, машинном обучении, обработке сигналов и других областях. Основу этого пакета составляют несколько специализированных библиотек, каждая из которых решает определённый круг задач. Вот как они работают вместе:
NumPy — ядро численных вычислений. NumPy предоставляет эффективную работу с массивами и матрицами, реализует линейную алгебру, базовые статистические функции, генерацию случайных чисел. Все расчёты выполняются на C-уровне, что делает NumPy очень быстрым.
Например, умножение двух матриц или вычисление синуса всех значений в массиве длиной в миллион — это задача как раз для NumPy.
SciPy — научные алгоритмы на базе NumPy. Если NumPy — это базовая арифметика, то SciPy — это набор более сложных численных методов: интегрирование, оптимизация, интерполяция, работа с ОДУ, спектральный анализ и пр. SciPy строится на NumPy и расширяет его возможностями научных вычислений.
SymPy — символьная математика. SymPy работает как аналог Mathematica или Maple, но прямо в Python. Он позволяет решать уравнения аналитически, производить алгебраические преобразования, упрощать выражения, находить пределы, производные, интегралы — в точных (нечисленных) формах.
Например, можно задать выражение x**2 + 2*x + 1, разложить его, взять от него производную или решить уравнение — всё в символическом виде.
Matplotlib и Seaborn — визуализация. Matplotlib — базовая библиотека для построения графиков. Она позволяет строить линейные графики, гистограммы, тепловые карты, 3D-графики, интерактивные визуализации. Seaborn строится на Matplotlib и добавляет более красивые, статистически насыщенные визуализации (например, плотности, корреляционные карты и т.п.).
Pandas — табличные данные. Хотя не чисто математическая библиотека, Pandas критична для работы с данными в виде таблиц, временных рядов и структурированных наборов. Она позволяет легко загружать, фильтровать, группировать, обрабатывать и подготавливать данные для моделирования или анализа.
Расширения Scikit-learn, TensorFlow, PyTorch. Когда к стандартному научному стеку подключаются библиотеки для машинного обучения и нейросетей, Python превращается в мощнейшую платформу для предиктивного моделирования, оптимизации и интеллектуального анализа.
Математический пакет Python с перечисленными библиотеками представляет собой надежный, масштабируемый и гибкий инструмент для научной и инженерной деятельности, не уступающий коммерческим системам вроде MATLAB или Mathematica.
Система Scientific WorkPlace (SWP) сначала развивалась как редактор научных текстов, позволяя легко набирать и редактировать математические формулы. Однако со временем компания-разработчик лицензировала символьный движок Maple, и теперь эта программа объединяет простой в использовании текстовый процессор и систему компьютерной алгебры, благодаря которой можно производить вычисления прямо в документе. У этой программы нет таких возможностей, как у Maple, однако она маленькая и простая в использовании. YaCaS (Yet Another Computer Algebra System — еще одна система компьютерной алгебры), это бесплатная кроссплатформенная альтернатива Maple, построенная на тех же принципах. Мощный движок YaCaS полностью реализован на C++ на условиях открытой лицензии (OpenSource). Интерфейс более бедный и простой, чем у конкурентов, но достаточно удобный.
Octave — это программа числовых вычислений, хорошо совместимая с MatLab. Интерфейс системы Octave, беднее, и у нее нет таких библиотек, как у MatLab, но это очень простая в освоении программа, нетребовательная к системным ресурсам. Распространяется Octave на условиях открытой лицензии с исходным кодом (OpenSource) и используется в учебных заведениях. Программа KOctave представляет собой более продвинутый графический интерфейс для системы Octave. В результате использования этого интерфейса система Octave становится похожей на MatLab.
Scilab — пакет прикладных математических программ, предоставляющий мощное открытое окружение для инженерных (технических) и научных расчетов. Scilab содержит сотни математических функций, и есть возможность добавления новых, написанных на различных языках программирования. Имеются разнообразные структуры данных (списки, полиномы, рациональные функции, линейные системы), имеется интерпретатор и язык высокого уровня. В состав пакета входит утилита, позволяющая конвертировать документы Matlab в Scilab. Программа доступна для различных операционных систем.
Математическая программа Genius не может соревноваться по мощности с известными конкурентами, но идеология математических преобразований у неё сходна с MatLab и Maple. Распространяется программа на условиях открытой лицензии с исходным кодом (OpenSource). Она имеет собственный язык, развитый инструментарий и хорошую систему подготовки документов для публикации. Хороший графический интерфейс программы делает работу с ней простой и удобной.
SMath Studio - бесплатная программа для вычисления математических выражений и построения графиков функций. Работа с интерфейсом программы напоминает работу с обычным листом бумаги, так как все математические выражения в ней записываются не в текстовую строку, а в удобном для человека графическом виде.
Семейство систем статистического анализа данных - SPSS, Statistica, Statgraphics, Stadia
Семейство систем статистического анализа данных — это группа программных продуктов, специально разработанных для обработки, анализа и визуализации статистических данных, особенно в гуманитарных, социальных, медицинских, экономических и маркетинговых исследованиях. Такие системы ориентированы не только на профессиональных математиков, но и на прикладных специалистов, которым важно получать достоверные результаты с помощью понятных интерфейсов и готовых процедур.
SPSS (Statistical Package for the Social Sciences). SPSS — одна из самых известных и широко используемых систем. Она создана для анализа данных в социальных науках, но применяется гораздо шире — в медицине, маркетинге, психологии, образовании. Особенность SPSS — интуитивный интерфейс, где большинство операций выполняется с помощью оконных форм, а не программного кода. Можно загружать таблицы данных, указывать переменные, запускать анализы и получать отчеты с таблицами и графиками.
SPSS поддерживает разнообразные методы: от описательной статистики до регрессии, кластерного анализа, факторного анализа, дисперсионного анализа и анализа временных рядов. Есть и модуль расширенной аналитики (например, для обработки пропущенных данных, построения моделей на основе деревьев решений).
Statistica — еще одна мощная система, ориентированная на глубокий статистический анализ, визуализацию и моделирование. Она включает в себя широкий спектр классических и современных методов, включая байесовский анализ, нейросетевые модели, анализ выживаемости и многое другое.
Statistica особенно ценится за богатые возможности визуализации, гибкость интерфейса и наличие встроенных помощников при проведении экспериментов и построении моделей. Подходит как для академических задач, так и для промышленного анализа, например, в фармацевтике, инженерии или контроле качества.
Statgraphics — система, которая хорошо известна в сфере инженерной статистики и контроля качества. Она сочетает широкие статистические возможности с простотой использования. Часто применяется в промышленности, в производственных процессах, агрономии, экологическом мониторинге.
Statgraphics ориентирован на визуально-интерактивный анализ данных, содержит большое количество графиков и диаграмм, позволяющих лучше понять распределения, взаимосвязи и тренды. Пользователю не нужно программировать — все операции выполняются через меню и диалоги.
Stadia — менее известная, но удобная в использовании отечественная система статистического анализа, разработанная специально с учетом образовательных и прикладных задач. Она позволяет выполнять классические методы анализа данных, такие как корреляционный анализ, регрессия, дисперсионный анализ, обработка результатов эксперимента и т. д.
Stadia применяется преимущественно в учебных заведениях и в прикладных исследованиях, особенно когда важна простота интерфейса и русскоязычная поддержка. Подходит для обучения статистике, анализа небольших выборок и составления отчетов.
Все эти системы имеют одну общую цель — обеспечить доступ к статистическим методам специалистам, не являющимся программистами, и при этом сохранить высокий уровень точности и достоверности анализа. Они позволяют выполнять сложные процедуры без написания кода, что делает их особенно удобными в социальных и гуманитарных науках, медицине и экономике. Однако каждая система имеет свою специфику — одни ориентированы на образование, другие на промышленность, третьи на массовые социологические исследования.
Все эти пакеты помогают быстро создавать модели, решать сложные уравнения, визуализировать результаты и проводить экспериментальные исследования без необходимости писать сложный код с нуля. Благодаря этому ускоряется процесс разработки и анализа, повышается точность и глубина исследований.