Классификация приемов моделирования

Моделирование — это научный прием, метод изучения, познания реального окружающего мира. Моделирование подразумевает следующее: реальный изучаемый объект (физическая система, процесс, явление), называемый оригиналом, замещается его моделью (физическим или абстрактным объектом). При этом модель воспроизводит (имитирует) те свойства и характеристики оригинала, которые существенны для достижения постав" ленной цели моделирования (для решения конкретной задачи). Над моделью проводятся эксперименты и исследования, на основе которых делаются выводы о свойствах объекта-оригинала.

Математическая модель — математическое представление реальности, один из вариантов модели как системы, исследование которой позволяет получать информацию о некоторой другой системе. Математическая модель, в частности, предназначена для прогнозирования поведения реального объекта, но всегда представляет собой ту или иную степень его идеализации. Также математической моделью называется совокупность уравнений или других математических соотношений, отражающих основные свойства изучаемого объекта или явления в рамках принятой умозрительной физической модели и особенности его взаимодействия с окружающей средой на пространственно-временных границах области его локализации. Математические модели различных процессов в континуальных системах строятся, как правило, на языке дифференциальных уравнений, позволяющих наиболее точно описать состояние процесса в любой точке пространства в произвольный момент времени.

Основными свойствами математических моделей являются адекватность и простота, указывающие на степень соответствия модели изучаемому объекту и возможности ее реализации. Процесс формулировки математической модели называется постановкой задачи.

Математическим моделированием называют как саму деятельность, так и совокупность принятых приёмов и техник построения и изучения математических моделей. Под математическим моделированием можно понимать процесс построения и изучения математических моделей.

Определение: математическое моделирование — это идеальное научное знаковое формальное моделирование, при котором описание объекта осуществляется на языке математики, а исследование модели проводится с использованием тех или иных математических методов.

Все естественные и общественные науки, использующие математический аппарат, по сути, занимаются математическим моделированием: заменяют объект исследования его математической моделью и затем изучают последнюю. С помощью математических методов описывается, как правило, идеальный объект или процесс, построенный на этапе содержательного моделирования. Связь математической модели с реальностью осуществляется с помощью цепочки эмпирических законов, гипотез, идеализаций и упрощений.

Классификация приемов моделирования

Большое количество типов моделирования и их постоянное изменение не позволяют создать логически законченную классификацию. В настоящее время моделирование можно условно разделить на материальное, или физическое моделирование, и идеальное моделирование.

Материальным (физическим) моделированием принято называть моделирование, при котором реальному объекту противопоставляется увеличенная или уменьшенная копия, изученные свойства которой переносятся на объект при помощи теории подобия. При материальном моделировании исследование объекта происходит при его воспроизведении в ином масштабе. Здесь возможен количественный перенос результатов эксперимента с модели на оригинал. Однако для анализа сложных объектов и процессов, каковыми являются большинство электронных схем, конструкций и технологических процессов производства радиоэлектронной техники, приборостроения, машиностроения и других промышленных отраслей, применение материального моделирования затруднительно, поскольку приходится использовать большое число критериев и ограничений, которые могут быть несовместимы, а зачастую и невыполнимы. Примерами материального моделирования являются макеты в архитектуре и макеты моделей и экспериментальных образцов при создании различных транспортных и летательных средств (аэродинамическая труба).

Идеальным моделированием называется моделирование, при котором реальному объекту противопоставляется описание его в форме речи, графики, таблиц, математических выражений. Главное отличие идеального моделирования от материального в том, что оно основано не на материализованной аналогии объекта и модели, а на аналогии идеальной, мыслимой и всегда носит теоретический характер. Натурное и аналоговое моделирование являются составляющими материального моделирования.

Натурное моделирование — моделирование, при котором реальному объекту ставится в соответствие его увеличенный или уменьшенный материальный аналог, допускающий исследование с помощью последующего перенесения свойств изучаемых процессов и явлений с модели на объект на основе теории подобия. В качестве примера натурного моделирования можно привести испытание нового автомобиля или самолета в аэродинамической трубе.

Аналоговое моделирование — моделирование, основанное на аналогии процессов и явлений, имеющих различную физическую природу, но одинаково описываемых формально.

Идеальное моделирование можно разделить на следующие типы: интуитивное, знаковое и научное.

Интуитивное моделирование — моделирование, основанное на интуитивном представлении об объекте исследования, не поддающемся формализации или не нуждающемся в ней.

Научное моделирование — всегда логически обоснованное моделирование, использующее минимальное число предположений, принятых в качестве гипотез на основании наблюдений за объектом моделирования. К примеру интуитивной модели можно отнести жизненный опыт человека по лечению заболеваний с помощью методов народной медицины.

Знаковое моделирование — моделирование, использующее в качестве моделей знаковые изображения какого-либо вида: схемы, графики и т.д. Примером знакового моделирования являются ноты музыкальных произведений, химические формулы и т.д.

Классификация моделей

Классификация моделей, замещающих технологический объект, в зависимости от типа образа (по степени их абстрагирования от оригинала):

Материальная (физическая) модель

Физические модели имеют ту же физическую природу, что и исследуемый объект, и применяются в тех случаях, когда трудно провести испытания реальных объектов в реальных условиях. В химической технологии применяют физические модели — уменьшенные копии реальных аппаратов и технологических процессов (различают лабораторные установки и так называемые пилотные). При использовании результатов необходимо учитывать эффект масштабирования.

Геометрическая модель отображает пространственные и геометрические свойства объекта-оригинала (например, макеты архитектурных сооружений, выставочные модели самолетов, локомотивов, судов, автомобилей).

Физическая модель воспроизводит физические свойства оригинала. Такая модель представляет собой увеличенную или уменьшенную копию оригинала. Физическая модель создается по строгим законам теории подобия.

Аналоговая модель отличается от оригинала по своей физической природе, но динамика ее внутренних процессов может быть описана теми же математическими соотношениями, которыми описывают процессы в моделируемой системе-оригинале. В качестве аналоговых моделей используются электрические, электронные, механические, гидравлические, пневматические, тепловые и другие системы.

Абстрактная модель

Абстрактные модели основываются на возможности описания технического объекта (системы) на языке символов, принятом в той или иной области науки путем отвлечения от несуществующих признаков. Абстрактные модели могут быть математическими и нематематическими. Процесс исследования технического объекта с помощью абстрактной модели включает три этапа:

построение описательной модели процесса, которая должна отвечать на вопросы «что происходит», «почему так происходит», «при каких условиях это возможно», «что может произойти при изменении данных параметров и внешних условий»;
запись информативной модели с помощью определенной системы символов;
исследование функционирования созданной абстракт‑ ной модели различными методами анализа, большинство из которых опирается на математический анализ.

Мнемоническая модель отображает свойства объекта (оригинала) посредством схемы, графа, графика, чертежа, диаграммы, химической формулы и т. д.. Математическая модель отображает свойства объек та (оригинала) на языке математических и логических соотношений.

Вычислительная модель — программа, реализующая алгоритм (вычислительную схему) решения математической модели.

Компьютерная модель представляет собой электронный эквивалент исследуемого объекта. Это комплекс специальных программных и аппаратных средств (абстрактная и физическая составляющие).

Имитационная модель представляет по своей сути компьютерную модель, воспроизводящую (имитирующую) структуру и алгоритм функционирования сложной системы во времени. При имитационном моделировании учитываются (воспроизводятся) взаимодействие элементов системы между собой и с внешней средой, последовательность и динамика процессов, протекающих в системе, характер входных воздействий, случайные факторы, влияющие на работу системы. В зависимости от класса моделируемой системы и характера исследуемых процессов задается механизм (закон) изменения и масштаб модельного времени.

Аналоговые модели

Аналоговые модели основаны на подобии явлений, имеющих различную физическую природу, но описываемых одинаковыми математическими уравнениями. Подобие математического описания этих процессов позволяет экспериментально и теоретически подтверждать результаты, полученные в одной области, соответствующими результатами из другой. Примерами аналоговых моделей могут служить электрические и механические колебания.

Также можно привести следующую классификацию моделей:

- Реальность

- Когнитивная модель

- Содержательная модель

- Концептуальная модель

- Формальная модель

При анализе поведения объекта-оригинала формируется мысленный его образ или идеальная модель, называемая когнитивной.

Представление когнитивной модели на естественном языке называют содержательной моделью. В зависимости от целей модели классифицируются на описательные, объяснительные и прогностические.

Описательной моделью можно назвать любое описание объекта. Объяснительная модель должна обеспечить объяснение причин нахождения системы в текущем состоянии.

Прогностическая модель должна обеспечивать понимание поведения объекта в будущем.

Концептуальной моделью принято называть содержательную модель, при формулировке которой используются понятия и представления предметных областей знания, занимающихся изучением объекта моделирования.

Выделяют три вида концептуальных моделей: логико-семантические, структурно-функциональные и причинно-следственные.

Логико-семантическая модель — модель с описанием объекта в терминах и определениях соответствующих предметных областей.

Структурно-функциональная модель — модель рассмотрения объекта как единого целого, с последующим изучением его отдельных элементов или подсистем.

Причинно-следственная модель — модель, применяемая для объяснения и прогнозирования поведения объекта. Формальная модель является представлением концептуальной модели с помощью одного или нескольких формальных языков. Информационная модель — модель, содержащая автоматизированные справочники, реализованные с помощью систем управления базами данных.

Формальная классификация моделей основывается на классификации используемых математических средств. Часто строится в форме дихотомий (разделение на две части). Например, один из популярных наборов дихотомий:

линейные или нелинейные модели;
сосредоточенные или распределенные системы;
детерминированные или стохастические;
статические или динамические;
дискретные или непрерывные и т.д.

Каждая построенная модель является линейной или нелинейной, детерминированной или стохастической. Естественно, что возможны и смешанные типы: в одном отношении сосредоточенные (по части параметров), в другом — распределенные модели и т.д.

Классификация по способу представления объекта. Наряду с формальной классификацией, модели различаются по способу представления объекта:

структурные модели представляют объект как систему со своим устройством и механизмом функционирования;
функциональные модели не используют таких представлений и отражают только внешне воспринимаемое поведение (функционирование) объекта. В их предельном выражении они называются также моделями «черного ящика».

Возможны также комбинированные типы моделей, которые иногда называют моделями «серого ящика».

Основные принципы моделирования

Требования:

1. Модель должна соответствовать цели моделирования. Модель предопределяется поставленной задачей (целью). Поэтому создаваемая модель должна воспроизводить (отображать) только те свойства и аспекты изучаемого (создаваемого) объекта, которые являются существенными для решения конкретной задачи исследования или проектирования. Следовательно, для обеспечения глубокого, полноценного и всестороннего изучения объекта требуется разработка комплекса (совокупности, ансамбля) его математических моделей, каждая из которых будет отображать определенные стороны, свойства и особенности оригинала.

2. Адекватность. Модель считается адекватной, если она отображает заданные свойства объекта (процесса) с требуемой точностью. Математическая модель не может быть адекватной на всем множестве значений ее параметров. Всегда существует область адекватности модели (ОА), которая задается диапазонами значений параметров модели, в пределах которых она должна быть адекватной реальному объекту.

3. Робастность модели означает ее устойчивость к погрешностям (неточностям) в исходных данных.

4. Академик Н. Н. Моисеев в своем определении модели выделяет еще одно важное требование к ней — потенциальность. «Под моделью мы будем понимать упрощенное, если угодно, упакованное знание, несущее вполне определенную, ограниченную информацию о предмете (явлении), отражающее те или иные его отдельные свойства. Модель можно рассматривать как специальную форму кодирования информации. В отличие от обычного кодирования, когда известна вся исходная информация и мы лишь переводим ее на другой язык, модель, какой бы язык она ни использовала, кодирует и ту информацию, которую люди раньше не знали. Можно сказать, что модель содержит в себе потенциальное знание, которое человек, исследуя ее, может приобрести, сделать наглядным и использовать в своих практических жизненных нуждах».

Принципы

При построении моделей используют два принципа:

дедуктивный (от общего к частному);
индуктивный (от частного к общему).

При первом подходе рассматривается частный случай общеизвестной фундаментальной модели. Здесь при заданных предположениях известная модель приспосабливается к условиям моделируемого объекта. Например, можно построить модель свободно падающего тела на основе известного закона Ньютона и в качестве допустимого приближения принять модель равноускоренного движения для малого промежутка времени.

Второй способ предполагает выдвижение гипотез, декомпозицию сложного объекта, анализ, затем синтез. Здесь широко используется подобие, аналогичное моделированию, умозаключение с целью формирования каких-либо закономерностей в виде предположений о поведении системы. Например, подобным способом происходит моделирование строения атома.

Среди подходов к разработке математических моделей относят:

1. Фундаментальные законы природы. Данный принцип является самым распространенным и заключается в использовании фундаментальных законов природы применительно к конкретной ситуации. Как правило, законы признаны, доказаны опытом и являются базой научно-технических достижений. В этой связи нет необходимости в их дополнительной обоснованности. В итоге самый главный вопрос возникает при выборе конкретного закона для решения определенной задачи.

2. Вариационные принципы. Данный подход по широте и универсальности сравним с первым подходом и заключается в применении вариационных принципов, которые являются утверждениями об исследуемом объекте. При этом выбор вариантов поведения осуществляется на основании определенных условий. Полученные вариационные принципы для класса явлений позволяют единообразно создавать соответствующие математические модели. Данный подход позволяет не учитывать конкретную природу процесса.

3. Применение аналогий при построении моделей. Метод аналогий применяется, когда невозможно выбрать фундаментальные законы или вариационные принципы. Это может быть связано с тем, что на сегодняшний момент подобные законы могут не существовать и, следовательно, описать их математически не представляется возможным. Примером является простейшая модель для динамики популяций (модель Мальтуса), посредством которой можно объяснить явление радиоактивного распада.

4. Иерархический подход к получению моделей. Построение математических моделей с учетом всех значимых факторов не всегда бывает удобным и оправданным. Подход реализации «от простого — к сложному» в этом случае является более предпочтительным. При данном подходе создается иерархия более полных моделей, обобщающих предыдущие модели как частные случаи. Математические модели нижнего уровня могут быть достаточно простыми, типовыми, допускающими широкую унификацию и использование набора готовых моделей. При иерархическом построении общей модели сложной системы задача оптимизации всей системы распадается на ряд частных задач оптимизации на различных уровнях. При этом общий критерий оптимизации разделяется на критерии для каждого уровня. Таким образом, задача большой размерности может быть сведена к ряду задач меньшей размерности. При этом следует учитывать взаимное влияние элементов и уровней.

5. Блочный принцип. При построении математических моделей широко используют блочный принцип. Модель строится из отдельных логически законченных блоков, отражающих ту или иную сторону рассматриваемого процесса. Блочный принцип построения моделей позволяет разбить общую задачу построения математической модели на отдельные подзадачи и тем самым упростить ее решение, а также использовать разработанные блоки в других моделях, модернизировать отдельные блоки и заменять их на новые. Общее математическое описание модели представляет собой совокупность математических описаний отдельных блоков. Применение блочного принципа построения математических моделей позволяет во многих случаях решить проблему масштабирования процессов.

Принципиально каждый блок математической модели может иметь различную степень детализации математического описания. Важно лишь, чтобы входные и выходные переменные всех блоков модели находились во взаимном соответствии, что обеспечит получение замкнутой системы уравнений математической модели процесса в целом. В идеале математическое описание каждого блока должно включать уравнения, параметрами которых являются только физико-химические свойства веществ. При практическом использовании блочного принципа в математическом описании каждого блока на том или ином уровне его детализации приходится применять эмпирические соотношения.

Этапы математического моделирования

Сама постановка вопроса о математическом моделировании какого-либо объекта порождает четкий план действий. Среди этапов процесса построения моделей можно выделить следующие:

1. Обследование объекта моделирования и формулировка технического задания на разработку модели. Постановка цели моделирования. Модель должна замещать реальный объект с такой степенью абстракции, которая более всего выгодна для достижения заданной цели. Конструирование модели начинается со словесно-смыслового описания объекта или явления. Данная стадия содержит сведения общего характера о природе объекта, информацию о целях его исследования и некоторые предположения. Данный этап можно также назвать формулировкой предмодели. Цель этапа — разработка содержательной постановки задачи моделирования, т. е. создание совокупности вопросов об объекте моделирования, записанных в словесной форме.

2. Концептуальная и математическая постановка задачи. На этом этапе происходит завершение идеализации объекта, отбрасываются несущественные факторы и эффекты.

Концептуальная модель включает в себя следующие сведения:

состав и структура объекта;
свойства и роль каждого элемента моделируемого объекта, обеспечивающие его функционирование;
количество и перечень параметров, достаточных для адекватного описания объекта;
причинно-следственные связи между параметрами объекта;
класс исследуемого объекта и создаваемой модели; условия функционирования объекта.

Цель концептуальной постановки задачи заключается в формулировке основных вопросов и наборе гипотез касательно свойств и поведения объекта моделирования в терминологии специальных дисциплин. В итоге предположения описываются математически для количественного анализа их выполнения. На этапе составления математического описания предварительно выделяют основные явления и элементы в объекте и затем устанавливают связи между ними. Далее для каждого выделенного элемента и явления записывают уравнение, отражающее его функционирование. Кроме того, в математическое описание включают уравнения связи между различными выделенными явлениями. В зависимости от процесса математическое описание может быть представлено в виде системы алгебраических, дифференциальных уравнений. Процесс получения совокупности математических уравнений, однозначно описывающих объект моделирования, называется математической постановкой задачи моделирования.

На этом этапе разработчику математической модели приходится решать три проблемы.

Поиск компромисса между простотой модели и ее адекватностью реальному объекту. Любой реальный объект в процессе функционирования подвергается влиянию множества факторов (внешних и внутренних). Чем большее количество факторов учитывается в модели, тем более адекватной становится модель. Однако при этом она может стать настолько сложной и громоздкой, что возникнут следующие проблемы: отсутствие эффективных методов исследования такой модели; затраты на моделирование объекта превысят эффект от внедрения полученной модели. Нельзя входить и в другую крайность — чрезмерно упрощать модель за счет пренебрежения влиянием существенных факторов. Это приведет к неадекватности модели и, соответственно, к искажению результатов моделирования. Поэтому необходим жесткий отбор (ранжирование) влияющих факторов, их четкое разграничение на основные (О) и второстепенные (В). Основные факторы должны быть учтены в модели, а от второстепенных факторов следует абстрагироваться (отбросить их). При этом не наносится существенного ущерба качеству модели.
Определение границ применимости создаваемой модели. Результаты, полученные с помощью конкретной модели, считаются справедливыми только в рамках оговоренных условий (в пределах области адекватности). Попытка использовать модель за пределами границ ее применимости может привести к ложным выводам.
Определение уровня детализации исследуемого объекта. Любая физическая система представляет собой совокупность элементов. Каждый элемент, в свою очередь, можно расчленить на подэлементы. Процесс расчленения теоретически может быть бесконечным. Задача исследователя — выбрать оптимальный уровень детализации моделируемого объекта. Уровень детализации определяется целью моделирования и степенью знаний о свойствах элементов объекта. Детализацию целесообразно производить до такого уровня, на котором для каждого элемента можно определить зависимость параметров выходных сигналов от параметров входных сигналов. Стремление повысить уровень детализации приводит к чрезмерной громоздкости модели и резкому увеличению ее размерности.

3. Формирование математической модели, т. е. запись модели в формализованном виде: все соотношения записывают в аналитической форме; логические условия выражают в виде систем неравенств; случайные процессы заменяют их типовыми моделями.

Качественный анализ и проверка корректности модели. Для контроля правильности полученной системы математических соотношений требуется проведение ряда обязательных проверок:

контроль размерности;
контроль порядков;
контроль характера зависимостей;
контроль экстремальных ситуаций;
контроль граничных условий;
контроль физического смысла;
контроль математической замкнутости.

Понятие «корректность модели» очень важно, особенно в прикладной математике, поскольку невозможно применение численных методов к некорректно поставленным задачам. Установить корректность математической задачи является сложной задачей. Для обеспечения корректности математической модели должны быть выполнены все контрольные проверки.

4. Исследование построенной математической модели. Инструментами исследования являются численные и аналитические методы. Выбор и обоснование выбора методов решения задачи. Созданная модель исследуется любыми возможными методами, в том числе с взаимной проверкой. Поскольку не все модели решаются теоретически, в последнее время широко используются вычислительные методы. Данное обстоятельство важно при анализе нелинейных объектов, поскольку качественное поведение таких объектов неизвестно. В зависимости от метода решения задачи все методы подразделяются на:

аналитические. Данные методы являются подходящими для анализа результатов, однако они применимы только для относительно простых моделей. При наличии аналитического решения задачи численное решение практически не применяется;
алгоритмические. Для алгоритмических методов реализуется вычислительный эксперимент с использованием компьютера. Этап выбора метода решения и разработки моделирующей программы подразумевает выбор наиболее эффективного (по быстроте получения решения и его наибольшей точности) метода решения из имеющихся методов, реализацию его в форме алгоритма решения.

5. Поиск решения или реализация алгоритма в виде программ для ЭВМ - вычислительный эксперимент. Вычислительный эксперимент — это эксперимент над математической моделью объекта на ЭВМ, который состоит в том, чтобы по одним параметрам модели вычислить другие ее параметры и на этой основе сделать выводы о свойствах явления, описываемого математической моделью. Вычислительный эксперимент проводится не над исходным реальным объектом, а над математической (информационной, имитационной) моделью объекта с помощью вычислительных и логических процедур, осуществляемых соответствующими программными средствами на вычислительных системах (компьютерах). Вычислительный эксперимент служит основным инструментом математического моделирования, соединяющим в себе сильные стороны традиционных теоретических и экспериментальных методов и позволяющим на основе имеющихся моделей и программных средств проводить направленные исследования крупных научных, технических, экологических и социально-экономических задач. Работа не с самим объектом (явлением, процессом), а с его моделью позволяет относительно быстро, безопасно и без существенных затрат исследовать его свойства и поведение в любых ситуациях. В то же время вычислительный эксперимент над адекватными моделями позволяет подробно и глубоко изучать объекты в достаточной полноте, недоступной чисто теоретическим подходам.

6. Анализ результатов моделирования с последующим выводом об адекватности модели, либо о необходимости ее доработки, либо о ее непригодности и проверка адекватности модели. На данном этапе определяется соответствие объекту и сформулированным предположениям. При этом также выполняется исследование модели на достижение поставленной цели любыми способами, например, сравнение с экспериментом или сопоставление с другими подходами. Модель необходимо отбросить или модифицировать в случае получения с ее помощью результата, существенно отличающегося от истинного. Этап установления степени соответствия модели объекту является заключительным. Для проверки адекватности математической модели реальному процессу нужно сравнить результаты измерений на объекте в ходе процесса с результатами предсказания модели в идентичных условиях.

7. Практическое использование модели. Независимо от области применения созданной модели необходимо провести качественный и количественный анализ результатов моделирования, который позволяет:

выполнить модификацию рассматриваемого объекта, найти его оптимальные характеристики;
обозначить область применения модели;
проверить обоснованность гипотез, принятых на этапе математической постановки, оценить возможность упрощения модели с целью повышения ее эффективности при сохранении требуемой точности;
показать, в каком направлении следует развивать модель в дальнейшем.

Классификация математических моделей

В настоящее время существует огромное количество моделей самого разного типа, которые получили развитие в результате применения методов математического моделирования в различных областях. Существуют следующие виды классификаций математических моделей в зависимости от:

способа получения;
сложности объекта моделирования;
оператора модели;
входных и выходных параметров;
цели моделирования;
способа исследования модели;
объектов исследования;
принадлежности модели к иерархическому уровню описания объекта;
характера отображаемых свойств;
порядка расчета;
использования управления процессом

В зависимости от способа получения математические модели делят на теоретические и эмпирические (фомальные).

Теоретические модели получают на основе изучения свойств исследуемого объекта и процессов, происходящих в нем. Теоретическая модель описывает физические закономерности, наблюдаемые в объекте-оригинале. В основу таких моделей могут быть положены: фундаментальные законы природы — законы сохранения энергии, массы, импульса, момента импульса, электрического заряда и т. д. ; феноменологические законы (описательные, выведенные на основе наблюдений, опытов, не разъясняющие физической сущности явлений, имеющие ограниченную область действия). К ним относятся законы Ома, Ампера, законы Ньютона (при скоростях движения тел v, много меньших скорости света c), закон Гука и т.д.

Эмпирические модели применяют в следующих случаях: когда отсутствует информация о физических свойствах изучаемого объекта и о механизме протекающих в нем процессов; когда исследуемый технический объект настолько сложен, что не представляется возможным математически адекватно описать сущность его внутренних процессов. Эмпирические модели получают экспериментальным путем. Моделируемый объект рассматривается как черный ящик. Для измерения доступны только его входные сигналы (управляющие воздействия) и выходные сигналы (отклики или реакции). Абстрагируясь от внутреннего устройства и физической сущности объекта, изучают его реакции на различные внешние воздействия.

По сложности объекта исследования модели делятся на простые и исследующие объекты‑системы. В простых моделях внутреннее строение объекта не рассматривается и составляющие его элементы и подпроцессы не учитываются. Объект‑система является совокупностью взаимосвязанных элементов, которые взаимодействуют с окружающей средой как с единым целым.

В зависимости от оператора модели они делятся на линейные, нелинейные, алгоритмические, простые и сложные. При наличии линейной зависимости выходных параметров от входных математическая модель называются линейной, соответственно в случае нелинейной зависимости модель — нелинейная. При обеспечении оператором модели функциональной зависимости выходных параметров от входных в виде алгебраического выражения модель является простой. Модель, включающая системы дифференциальных и интегральных соотношений, называется сложной. В случае построения имитатора модели поведения объекта с помощью алгоритма его называют оператором модели. При этом сама модель является алгоритмической.

Классификация математических моделей в зависимости от входных и выходных параметров представлена на рисунке.

По характеру моделируемого процесса модели подразделяются на:

детерминированные, которые соответствуют детерминированным процессам, имеющим строго однозначную связь между физическими величинами, характеризующими со‑ стояние системы в какой-либо момент времени; детерминированная модель позволяет однозначно вычислить и предсказать значения выходных величин по значениям входных параметров и управляющих воздействий;
неопределенные, которые исходят из того, что изменение определяющих величин происходит случайным образом и значения выходных величин находятся в вероятностном соответствии с входными величинами и не определяются однозначно.

Модели с неопределенными параметрами можно подразделить на следующие группы :

Стохастические — значения всех или отдельных параметров модели определяются случайными величинами, заданными плотностями вероятности.
Случайные — значения всех или отдельных параметров модели определяются случайными величинами, которые зависят от оценки плотностей вероятности, определяемой в результате обработки ограниченной экспериментальной выборки данных параметров.
Интервальные— значения всех или отдельных параметров модели описываются интервальными величинами, заданным интервалом, образованным минимальными и максимально возможными значениями параметра.
Нечеткие — значения всех или отдельных параметров модели описываются функциями принадлежности соответствующему нечеткому множеству.

Модели по отношению к размерности пространства классифицируются на одномерные, двухмерные и трехмерные. Такое разделение применимо для моделей, имеющих в качестве параметров координаты пространства.

По отношению ко времени модели делят на динамические и статические. Некоторые характеристики моделей являются неизменными, т. е. не меняют своих значений в течение времени, а некоторые изменяются по определенным законам. Если состояние системы меняется со временем, то модели называют динамическими, в противном случае — статическими. Статическое моделирование служит для описания состояния объекта в фиксированный момент времени, а динамическое — для исследования объекта во времени.

Разделение моделей на качественные и количественные, дискретные и непрерывные, а также на смешанные происходит в зависимости от вида используемых множеств параметров модели.

По целям моделирования модели делятся на дескриптивные, оптимизационные и управленческие.

Среди целей дескриптивных моделей можно выделить установление законов изменения параметров модели. Примером данной модели является модель движения ракеты после запуска.

С помощью оптимизационных моделей можно рассчитывать оптимальные критерии параметров объекта моделирования. С другой стороны, данные модели могут применяться для поиска оптимального режима управления процессом. К оптимизационным моделям можно отнести модель ракеты из предыдущей модели с целью подъема на необходимую высоту за ограниченное время.

С целью принятия эффективных управленческих решений в областях жизнедеятельности человека применяются управленческие модели.

В зависимости от метода реализации модели делят на аналитические (алгебраические, приближенные), если возможно получить выходные параметры в виде аналитических выражений, и на алгоритмические (численные, имитационные), позволяющие получить лишь приближенные значения искомых параметров.

По объектам исследования математические модели классифицируют на:

объекты с высокой степенью информации, если в процессе моделирования известны полные системы уравнений, описывающие все стороны моделируемого процесса и все числовые значения параметров этих уравнений;
объекты с нулевым уровнем информации; математическая модель такого объекта строится на основе статистических экспериментальных данных;
объекты с известными основными закономерностями; значения констант в математических уравнениях описания модели устанавливают из опыта;
объекты, о поведении которых имеются сведения эмпирического характера; для них используют методы физического моделирования с применением математического планирования эксперимента.

По принадлежности модели к иерархическому уровню описания объекта. Иерархический уровень включает:

микроуровень (типовыми процессами являются массообменные, теплофизические, гидродинамические), моделирование осуществляется в целях синтеза технологического процесса для отдельного или нескольких агрегатов;
макроуровень — моделирование процессов, имеющих более высокий уровень агрегации; модели применяют для синтеза текущего управления технологическим процессом для одного агрегата или технологического комплекса в целом;
метауровень — моделирование процессов в совокупности агрегатов и связывающих их материально-энергетических потоков; такие модели служат для синтеза технологического комплекса как единого целого, то есть для синтеза управления развитием.

Классификация математических моделей по порядку расчета. Подразделяют на прямые, обратные, индуктивные:

прямые применяются для определения кинетических, статических и динамических закономерностей процессов. В прямых моделях кинетические закономерности характеризуют течение процесса во времени и устанавливают изменение во времени его параметров: концентраций, температур, химического состава при известных потоках и параметрах рабочих тел. Статические закономерности определяют конечные критические и равновесные значения параметров процесса и рабочего компонента
обратные (инверсионные) используются для определения, например, допустимых отклонений режимов обработки. Обратные (инверсные) модели применяют для определения значения входных параметров или других заданных свойств обрабатываемых веществ или продуктов, а также для определения допустимых отклонений режимов обработки, не оказывающих существенного влияния на качество продукта или показатели процесса.
индуктивные применяются для уточнения математических уравнений кинетики, статики или динамики процессов с использованием новых гипотез или теорий. Индуктивные модели необходимы для установления или уточнения математических уравнений кинетики, статики и динамики процессов и чаще всего реализуются экспериментально или аналитически с использованием новых гипотез, форм описания или теорий с последующей проверкой адекватности математического описания.

Специфические особенности всех видов моделей отражаются, прежде всего, в задании и форме начальных и граничных условий.

Классификация математических моделей в зависимости от использования управления процессом

Математические модели делятся на:

1. Модели прогноза, или расчетные модели без управления. Основное назначение этих моделей — дать прогноз о поведении системы во времени и в пространстве, зная начальное состояние и информацию о поведении ее на границе. Примерами могут служить модели распределения тепла, электрического поля, химической кинетики, гидродинамики.

2. Оптимизационные модели:

стационарные модели используются на уровне проектирования различных технологических систем;
динамические — как на уровне проектирования, так и, главным образом, для оптимального управления различными процессами — технологическими, экономическими и др.

В задачах оптимизации имеется два направления.

К первому относятся детерминированные задачи. Вся входная информация в них является полностью определяемой.

Второе направление относится к стохастическим процессам. В этих задачах некоторые параметры носят случайный характер или содержат элемент неопределенности. Методы отыскания экстремума функции многих переменных с различными ограничениями часто называются методами математического программирования.

Содержательная классификация моделей

1. Гипотеза. Эти модели «представляют собой пробное описание явления, причем автор либо верит в его возможность, либо считает даже его истинным». Пример: модель Солнечной системы по Птолемею и модель Коперника (усовершенствованная Кеплером), модель атома Резерфорда и модель Большого Взрыва. Если модель первого типа построена, то это означает, что она временно признается за истину и можно сконцентрироваться на других проблемах. Однако это не может быть точкой в исследованиях, но только временной паузой: статус модели первого типа может быть только временным.

2. Феноменологическая модель. Данная модель содержит механизм для описания явления. Однако этот механизм недостаточно убедителен и не может быть подтвержден имеющимися данными или плохо согласуется с имеющимися теориями и накопленным знанием об объекте. Поэтому феноменологические модели имеют статус временных решений. Считается, что ответ все еще неизвестен, и необходимо продолжить поиск «истинных механизмов». Пример: модели теплорода и кварковая модель элементарных частиц. Роль модели в исследовании может меняться со временем, может случиться так, что новые данные и теории подтвердят феноменологические модели и те будут повышены до статуса гипотезы. Аналогично, новое знание может постепенно прийти в противоречие с моделями-гипотезами первого типа и те могут быть переведены во второй.

3. Приближение. Если можно построить уравнения, описывающие исследуемую систему, то это не значит, что их можно решить даже с помощью компьютера. Общепринятый прием в этом случае — использование приближений. Уравнения заменяются линейными. Стандартный пример — закон Ома.

4. Упрощение. В данной модели отбрасываются детали, которые могут заметно и не всегда контролируемо повлиять на результат. Примеры: применение модели идеального газа к неидеальному, уравнение состояния Ван-дер-Ваальса, большинство моделей физики твердого тела, жидкостей и ядерной физики. Путь от микроописания к свойствам тел (или сред), состоящих из большого числа частиц, очень длинен. Приходится отбрасывать многие детали.

5. Эвристическая модель. Эвристическая модель сохраняет лишь качественное подобие реальности и дает предсказания только «по порядку величины». Типичный пример — приближение средней длины свободного пробега в кинетической теории. Оно дает простые формулы для коэффициентов вязкости, диффузии, теплопроводности, согласующиеся с реальностью по порядку величины. Но при построении новой физики далеко не сразу получается модель, дающая хотя бы качественное описание объекта. В этом случае часто используют модель по аналогии, отражающую действительность хоть в какой-нибудь черте.

6. Аналогия. Данная модель впервые возникла, когда взаимодействие в системе нейтрон-протон пытались объяснить посредством взаимодействия атома водорода с протоном. Эта аналогия и привела к заключению, что должны существовать обменные силы взаимодействия между нейтроном и протоном, которые аналогичны обменным силам в системе H — H+, обусловленным переходом электрона между двумя протонами.

7. Мысленный эксперимент. Сюда можно отнести рассуждения, которые в конечном итоге приводят к противоречию.

8. Демонстрация возможности. Это тоже мысленные эксперименты с воображаемыми сущностями, демонстрирующие, что предполагаемое явление согласуется с базовыми принципами и внутренне непротиворечиво. Один из самых знаменитых таких экспериментов — геометрия Лобачевского (Лобачевский называл ее «воображаемой геометрией»).

*******************************************************************

Звонарев С. В. Основы математического моделирования: учебное пособие / С.В. Звонарев. — Екатеринбург : Издательство Уральского университета, 2019. — 112 с.
Голубева Н. В. Математическое моделирование систем и процессов: учебное пособие. — 2-е изд., стер. — СПб.: Издательство «Лань», 2016. — 192 с.: ил. — (Учебники для вузов. Специальная литература).
Самарский А. А. Математическое моделирование: Идеи. Методы. Примеры / А. А. Самарский, А. П. Михайлов. — 2-е изд., испр. — Москва: Физматлит, 2001. — 320 с.