Нечеткие числа, нечеткие переменные и операции над ними

Нечеткие числа

Нечеткое число — это обобщение обычного (точного) числа, которое позволяет учитывать неопределённость или размытость в значении.

Иначе говоря, нечеткое число — это число, у которого нет одной точной величины, но есть область возможных значений с разной степенью уверенности.

Зачем

В реальной жизни мы часто не знаем значения точно:

• «Примерно 100 км»

• «Где-то около 5 часов»

• «Температура должна быть не ниже 36,5, но не выше 37,5»

Во всех этих случаях точное число не подходит, и используется нечеткое число, которое описывает диапазон значений и степень уверенности в каждом.

Формально нечеткое число — это нечеткое множество на числовой прямой.

Оно описывается функцией принадлежности $\mu(x)$, которая показывает, насколько "правдоподобно" значение x относится к этому числу.

Например: "примерно 10". Это нечеткое число может быть задано треугольной функцией принадлежности:

• при $x = 10$ → $\mu(x) = 1$ (максимальная уверенность),

• при $x = 8$ или $x = 12$ → $\mu(x) = 0$,

• между 8 и 10 — уверенность растёт,

• между 10 и 12 — уверенность убывает.

Пример треугольного нечеткого числа

Формы нечетких чисел

Обычно нечеткие числа имеют графическую форму:

• Треугольная — простая симметричная форма.

• Трапециевидная — позволяет задать интервал полной уверенности (например, от 9 до 11 — «точно примерно 10»).

• Гауссова — если размытость распределяется плавно.

Нечеткие числа применяются:

• в нечеткой логике и нечетком управлении (например, для описания правил: «если температура примерно 20 °C...»),

• в моделировании неопределенности,

• в экспертных системах,

• в оценке рисков, где точные значения неизвестны или не нужны.

Сравнение с обычными числами

Итого

Нечеткое число — это способ представить приблизительное, расплывчатое значение, когда точное число либо невозможно указать, либо это не нужно.

Оно описывает область значений и степень уверенности в каждом из них. Это очень полезно в системах, которые должны работать в условиях неопределённости, приближённо, по-человечески.

Нечеткие переменные

Нечеткая переменная — это переменная, значение которой описывается нечетким множеством, а не одним числом или элементом.

Проще говоря, это переменная, которая может принимать нечёткие (размытые) значения, вроде:

• "низкая температура",

• "средняя скорость",

• "высокий уровень дохода",

• "примерно 100",

• "немного холодно".

Каждое из этих значений не точно определено, а описывается через функцию принадлежности, то есть через нечеткое множество.

Допустим, у нас есть нечеткая переменная "температура".
Она может принимать лингвистические значения (так называемые лингвистические термы):

• низкая

• средняя

• высокая

Каждое из этих значений — нечеткое множество на числовой оси температуры.

Таким образом, переменная "температура" может быть одновременно немного "средней" и немного "высокой".

Формально нечеткая переменная — это:

• имя переменной (например, «температура»),

• множество термов (лингвистических значений),

• и функция принадлежности для каждого терма.

Каждое значение переменной не задано чётким числом, а выражено нечетким числом или нечетким множеством.

Лингвистические переменные

Часто термин "нечеткая переменная" используется как синоним "лингвистическая переменная", введённый Лотфи Заде.

Она включает:

• Имя переменной (например, "скорость")

• Множество термов (медленная, нормальная, высокая)

• Функции принадлежности для каждого терма

• Универсальное множество (все допустимые значения, например, скорости от 0 до 200 км/ч)

Нечеткие переменные — основа:

• нечетких правил типа "если… то…" (например, "если скорость высокая, то тормозить интенсивно"),

• нечеткого управления (автомобили, системы кондиционирования, умный дом),

• интеллектуальных систем, где важна приближённая логика ("похоже", "немного", "скорее всего").

Разница с обычными переменными

Итого

Нечеткая переменная — это переменная, значение которой описывается размытым понятием, а не конкретным числом.

Она позволяет системам работать в условиях неопределённости и приближённых формулировок — как это делает человек. Такие переменные — основа нечеткой логики, управления, экспертных и гибридных систем.

Операции над нечеткими числами и переменными

Операции над нечеткими числами

Напомним: нечеткое число — это не одно число, а множество значений с функцией принадлежности, например треугольник или трапеция.

С ними можно выполнять арифметические действия, но они требуют модифицированных правил, потому что каждое значение — не точка, а диапазон.

Сложение и вычитание

Если два нечетких числа заданы, например, как треугольники:

• $A = \text{примерно 3}$

• $B = \text{примерно 5}$

То сумма $C = A + B$ будет новым нечетким числом, с функцией принадлежности, полученной алгебраически (путём свёртки, α-срезов и т.п.).

Простой способ (через α-срезы):

1. На каждом уровне принадлежности $\alpha \in [0,1]$ находим интервалы значений для $A$ и $B$,

2. Складываем (или вычитаем) границы этих интервалов,

3. Получаем новый нечеткий интервал для суммы (или разности).

Это приводит к расширению диапазона: нечеткие числа «расплываются» при операциях.

Умножение и деление

Работают аналогично:

• Умножаем все возможные комбинации значений $a \in A, b \in B$, учитывая степени принадлежности,

• Или выполняем операции над α-срезами.

Важно: при делении обязательно проверять, не содержит ли делитель ноль (иначе операция не определена).

Пример

Если:

• $A$ = "примерно 10" (треугольник с вершиной 10),

• $B$ = "примерно 2" (треугольник с вершиной 2),

То:

• $A + B$ ≈ "примерно 12"

• $A - B$ ≈ "примерно 8"

• $A × B$ ≈ "примерно 20"

Все эти результаты — новые нечеткие числа с «размазанными» значениями.

Операции над нечеткими переменными

Нечеткие переменные принимают значения типа «высокий», «тёплый», «средний», то есть — нечеткие множества. Операции с ними — логические и лингвистические.

Объединение (логическое ИЛИ)

Если у нас есть:

• $\mu_A(x)$ — степень принадлежности к "высокий"

• $\mu_B(x)$ — степень принадлежности к "умный"

То:

$$\mu_{A \cup B}(x) = \max(\mu_A(x), \mu_B(x))$$

Пример: человек считается «высоким или умным», если он либо высокий, либо умный — или хотя бы один из этих признаков проявлен.

Пересечение (логическое И)

$$\mu_{A \cap B}(x) = \min(\mu_A(x), \mu_B(x))$$

Пример: человек — «высокий и умный» только в той степени, в которой он одновременно и то, и другое.

Дополнение (НЕ)

$$\mu_{\neg A}(x) = 1 - \mu_A(x)$$

Пример: если «высокий» с принадлежностью 0.7, то «не высокий» — с принадлежностью 0.3.

Включение (подмножество)

Обозначается: $A \subseteq B$

В нечеткой логике:

$A$ включено в $B$, если для всех $x$ выполнено:

$$\mu_A(x) \le \mu_B(x)$$

🔸 То есть, каждый элемент принадлежит $A$ не больше, чем $B$.

Если где-то у $A$ значение больше — значит, это не подмножество.

Равенство

Обозначается: $A = B$

В нечетком случае:

$A$ и $B$ равны, если функции принадлежности совпадают для всех $x$:

$$\mu_A(x) = \mu_B(x), \quad \forall x$$

Если хотя бы в одной точке различие — множества считаются разными.

Разность (множество A без B)

Обозначается: $A \setminus B$

Формула:

$$\mu_{A \setminus B}(x) = \min\left( \mu_A(x),\, 1 - \mu_B(x) \right)$$

То есть: элемент остаётся в разности в той степени, в какой он есть в $A$, но отсутствует в $B$.

Пример:
Если $\mu_A(x) = 0.8$, $\mu_B(x) = 0.5$,
то $\mu_{A \setminus B}(x) = \min(0.8, 1 - 0.5) = \min(0.8, 0.5) = 0.5$

Дизъюнктивная (симметрическая) разность

(её ещё называют "сумма по модулю 2" или "exclusive OR", XOR)

Обозначается: $A \oplus B$ или $A \Delta B$

Формула:

$$\mu_{A \oplus B}(x) = \max\left( \min(\mu_A(x),\, 1 - \mu_B(x)),\; \min(1 - \mu_A(x),\, \mu_B(x)) \right)$$

Эта операция выражает: "принадлежит либо A, либо B, но не одновременно обоим".

Пример:
Если $\mu_A(x) = 0.6$, $\mu_B(x) = 0.4$,
то:

• $\min(0.6, 1 - 0.4) = \min(0.6, 0.6) = 0.6$

• $\min(1 - 0.6, 0.4) = \min(0.4, 0.4) = 0.4$

• $\max(0.6, 0.4) = 0.6$

Значит, $\mu_{A \oplus B}(x) = 0.6$

Сравнение с классическими множествами

Применение в правилах

Нечеткие переменные участвуют в нечетких правилах вида:

"ЕСЛИ температура высокая И влажность низкая, ТО мощность охлаждения — большая"

Каждое слово — это нечеткое множество. А логика — на основе операций min, max, 1 − x и аппроксимации выходных значений (дефаззификации (процесс преобразования нечеткого значения в чёткое (одно конкретное число).)).

Вывод

Все классические операции над множествами обобщаются в нечеткой теории с помощью минимумов, максимумов и дополнений, что позволяет учитывать неопределённость и степень принадлежности.

Сравнение нечетких чисел

Сравнивать нечёткие числа сложнее, чем обычные. Основные подходы:

• Сравнение центров тяжести (среднее значение),

• Сравнение по α-срезам,

• Вероятностные методы — оценивают, с какой вероятностью одно число больше другого.

Например: число A с вершиной в 10 и числом B с вершиной в 12 → B скорее больше, но если A шире, может быть наоборот.

*********************************************************************************************************************************************

Операции над нечеткими числами и переменными — это обобщение обычной математики и логики, которое позволяет работать с приблизительными, размытыми значениями, как это делает человек.

Над нечеткими числами можно выполнять арифметические операции (но с учётом размытости). Над нечеткими переменными — логические (И, ИЛИ, НЕ). Всё это лежит в основе нечетких систем управления, экспертных систем, моделей принятия решений.