Построение математических моделей статических объектов. Моделирование динамических объектов

Построение математических моделей статических объектов

Построение математических моделей статических объектов — это процесс формализации свойств и поведения объектов, не изменяющихся во времени (или изменяющихся настолько медленно, что их можно считать неизменными на протяжении анализа), с помощью математического аппарата. Такие модели используются в инженерии, физике, экономике, информатике и других областях для анализа, прогнозирования и оптимизации.

Исследование некоторых физических систем приводит к математическим моделям в форме систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Иногда необходимость в решении СЛАУ появляется в процессе анализа или проектирования технического объекта как промежуточный шаг (этап) в решении более сложной задачи. Есть значительное число научно-технических задач, в которых математические модели сложных нелинейных систем посредством линеаризации или дискретизации сводятся к решению СЛАУ. Такой подход к решению задач используется в электротехнике, теплотехнике, акустике, электродинамике, гидродинамике, геофизике, в строительной механике и во многих других областях.

СЛАУ относятся к классу статических моделей.

Статические математические модели описывают установившиеся (равновесные) режимы работы физических систем. В них фактор времени не учитывается. В статические модели время t не входит в качестве независимой переменной.

Статический объект — это объект, параметры которого считаются постоянными во времени в рамках рассматриваемой задачи. Это могут быть:

• конструкции зданий (мосты, балки, фермы);
• электрические цепи в установившемся режиме;
• технологические системы при равновесии;
• организационные структуры;
• базы данных (на уровне схем и связей).

Примеры задач, решение которых осуществляется с привлечением математического аппарата СЛАУ:

1) анализ статических состояний технических систем. Статический режим функционирования объекта характеризуется неизменностью реакций взаимодействия всех его элементов при постоянных внешних воздействиях;

2) при проектировании и эксплуатации электротехнических устройств требуется проведение расчета и анализа их работы в стационарных режимах. Задача сводится к расчету соответствующих эквивалентных схем. В основе расчета лежит формирование и решение СЛАУ;

3) при построении математической модели, связывающей функциональной зависимостью некоторые параметры x, y исследуемого объекта на основании полученных в результате эксперимента результатов измерений x_i, y_i, где i = 1, 2, 3, ..., n (задачи аппроксимации данных);

4) при решении краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений разностными методами;

5) при исследовании процессов в системах, математические модели которых строятся в классе дифференциальных уравнений в частных производных. В результате разностной аппроксимации (дискретизации) исходной модели при определенных условиях приходят к математическим соотношениям в форме СЛАУ (Аппроксимация — это процесс приближения одной функции, значения или объекта другой, более простой или удобной для анализа или вычислений, с целью получить близкое, но не точное значение);

6) сущность многих физических процессов математически отображается с помощью интегральных уравнений. Ввиду сложности решения многих из них исследователь предпочитает свести задачу к решению модели в форме СЛАУ, используя для этого известные методы аппроксимации или дискретизации;

7) исследование систем автоматического регулирования в установившемся режиме приводит во многих случаях к статическим моделям в форме СЛАУ;

8) анализ прочности и устойчивости инженерных конструкций и сооружений в условиях равновесия.

Этапы построения математической модели

1. Формулировка цели моделирования

   • Определение задач, которые должна решать модель: анализ, проектирование, оптимизация, диагностика.

2. Идентификация объекта

   • Определение границ системы, входных и выходных параметров, структуры объекта.

3. Выбор метода моделирования

   • В зависимости от предметной области и задачи могут использоваться:

     • алгебраические уравнения;

     • системы линейных/нелинейных уравнений;

     • графы, матрицы, булевы функции;

     • методы линейного программирования и др.

4. Построение модели

   • Описание зависимостей между переменными в форме математических выражений:

     • $y = f(x_1, x_2, ..., x_n)$ — аналитическая модель;
       Это обобщённый вид математической модели, которая описывает зависимость выходной переменной $y$ (результата, отклика системы) от входных переменных $x_1, x_2, \ldots, x_n$ (аргументов, факторов воздействия), где
       y — выходная величина (зависимая переменная, результат), которую нужно предсказать, оценить или оптимизировать;
       x₁​,x₂​,...,x_n​ — входные величины (независимые переменные, аргументы модели, параметры системы);
       f — функция (правило, закон), которая описывает, как входные параметры влияют на выход.

     • система уравнений;

     • логические или дискретные зависимости.

5. Проверка модели (верификация и валидация)

   • Сравнение с реальным объектом;

   • проверка на устойчивость, адекватность и корректность.

6. Использование модели

   • Расчеты, оптимизация, прогнозирование, принятие решений.

Примеры:

1. Статическая механическая система

   • Расчёт усилий в балке: модель представляет систему линейных уравнений равновесия.

2. Электрическая цепь постоянного тока

   • Применяются законы Кирхгофа, создаются уравнения с токами и напряжениями.

3. Организационная структура

   • Модель представляется в виде графа: узлы — сотрудники, рёбра — подчинённость.

4. Экономическая модель производства

   • Продукция = функция от ресурсов: $Q = f(L, K)$, где $L$ — труд, $K$ — капитал.

Виды моделей

Решением СЛАУ называют набор чисел x₁,x₂,...,x_n, которые при подстановке в систему вместо соот ветствующих неизвестных обращают все ее уравнения в тождества.

Методы решения моделей в форме СЛАУ делятся на две группы: прямые (точные) и итерационные (прибли женные).

Прямые методы позволяют получить решение системы за конечное число шагов.

Итерационные методы построены по принципу многократного вычисления последовательных приближений, сходящихся к искомому решению. Чем больше требуемая точность вычисления решения, тем большее количество итераций потребуется произвести.

Прямые методы целесообразно использовать для решения систем сравнительно небольшой размерности с плотно заполненной матрицей (матрицей, имеющей малое количество нулевых элементов).

Итерационные методы предпочтительнее в задачах большой размерности со слабо заполненными матрицами. К прямым методам относятся метод определителей, метод Гаусса и его модификации, метод LU-разложения, матричный метод, метод Крамера, метод Халецкого и др.

К разряду итерационных методов принадлежат метод простой итерации, методы Якоби, Зейделя и пр.

Моделирование динамических объектов

Динамический объект — это система, состояние которой изменяется со временем под влиянием внешних воздействий.
Примеры:

• автомобиль (меняет скорость и положение),

• робот-манипулятор (движение в пространстве),

• температура в помещении (зависит от времени и обогрева),

• экономическая система (изменения прибыли, спроса, курса валют).

Динамической называется модель, в математическое описание которой в качестве независимой переменной входит время.

Цель моделирования  - построить математическую модель, описывающую временное поведение системы: как изменения входов приводят к изменениям выходов в динамике (во времени).

В динамической модели учитываются инерционные свойства моделируемого объекта, наличие у него «памяти», т. е. отображается тот факт, что значение выходного процесса y(t) объекта зависит не только от значения входного воздействия x(t) в данный момент времени, но и от его прошлых значений (его предыстории).

Для динамического объекта вводится понятие состояния, определяемого однозначно значениями совокупности параметров в данный момент времени, и задается закон, описывающий изменение (эволюцию) начального состояния объекта с течением времени.

Динамические технические объекты способны воспринимать внешние возмущающие воздействия и откликаться (реагировать) на них изменением выходных величин, характеризующих состояние и поведение объекта.

Динамические объекты описывают динамическими (эволюционными) моделями (линейными и нелинейными).

Динамические системы могут быть консервативными и диссипативными.

Консервативные системы (в механике — гамильтоновы) характеризуются неизменным во времени запасом энергии (потери (рассеяние) энергии полагаются равными нулю). Примерами являются механические колебательные системы при отсутствии трения. Представление моделируемой динамической системы как консервативной является идеализацией реальной системы.

Диссипативными называют динамические системы, в которых запас энергии со временем уменьшается за счет трения или рассеяния. Например, свободные электромагнитные колебания (колебания тока, напряжения) в электрической цепи являются затухающими вследствие потерь энергии на омическом сопротивлении R (часть энергии переходит в джоулево тепло).

Динамическая система называется автономной, если она не подвержена внешним воздействиям (независима от внешних факторов).

Основные виды моделей динамических объектов

1.Дифференциальные уравнения

Используются, когда изменения происходят непрерывно во времени.

Общий вид:

$$\frac{dy(t)}{dt} = f(y(t), u(t), t)$$

• $y(t)$ — состояние объекта во времени,

• $u(t)$ — управляющее воздействие (вход),

• $t$ — время,

• $f$ — закон изменения.

Пример: уравнение движения тела

$$m\frac{d^{2}x}{d{t}^2}=F(t)$$ $$$$

Для самых маленьких:

Обозначение

$$\frac{dy(t)}{dt}$$

читается как "производная функции $y(t)$ по времени $t$".

Символ $d$ в этом выражении — это часть обозначения производной. Он указывает на бесконечно малое изменение величины.

То есть:

• $dy(t)$ — малое изменение функции $y(t)$,

• $dt$ — малое изменение времени $t$,

• А вся дробь $\frac{dy(t)}{dt}$ — это скорость изменения $y(t)$ во времени.

Пример для наглядности:

Пусть $y(t)$ — температура воды в чайнике.
Если:

$$\frac{dy(t)}{dt} = 5$$

Это означает, что температура увеличивается на 5°C каждую секунду.

Важно: это не деление чисел! Хотя выглядит как дробь, 

$\frac{dy}{dt}$ — это единое обозначение производной. Это не обычное деление, а лимит отношения при $dt \to 0$.

Разберёмся, что означает лимит отношения при $dt \to 0$, и почему это важно.

Контекст: Производная  — это скорость изменения функции. Она записывается так:

$$\frac{dy}{dt}$$

Но что это значит строго математически? Это предел отношения при $dt \to 0$:

$$\frac{dy}{dt} = \lim_{dt \to 0} \frac{y(t + dt) - y(t)}{dt}$$

Что означает "лимит" (предел)?

Это что будет с выражением, когда $dt$ становится всё меньше и меньше, стремится к нулю, но не равен нулю.

Пример-анимация в воображении:

1. Представь: человечек на горке.

2. Он делает шаг на $dt = 1$ — его изменение высоты видно.

3. Потом пробует $dt = 0.5$ — изменение уже другое, угол касательной меняется.

4. Потом $dt = 0.01$, потом $dt = 0.0001$...

5. В какой-то момент его "ступенька" настолько мала, что он фактически находится на одной точке, и тогда линия под его ногами — это касательная к кривой.

Вот это и есть:

$$\lim_{dt \to 0} \frac{y(t + dt) - y(t)}{dt}$$

Зачем нужен этот предел?

Потому что в реальности нельзя поделить на 0.
Но можно посмотреть, к какому числу стремится отношение, если знаменатель становится очень-очень маленьким.

Важно:

• $dt$ — бесконечно малое изменение времени

• $dy$ — соответствующее изменение функции

• $\frac{dy}{dt}$ — предел отношения этих двух изменений

• Это предел и определяет производную функции $y(t)$ в точке $t$

Что такое бесконечно малое изменение величины.

Когда мы говорим о "бесконечно малом изменении", мы имеем в виду изменение настолько маленькое, что оно почти ноль, но не совсем.

Это как если бы ты двигал стрелку часов не на одну секунду, а на настолько маленькую часть секунды, что ты даже не заметишь движения — но оно всё-таки есть.

Обозначение

• $dx$ — бесконечно малое изменение переменной $x$

• $dt$ — бесконечно малое изменение времени

• $dy$ — бесконечно малое изменение функции $y$

Где используется

В производной:

$$\frac{dy}{dt}$$

это означает:

"Что произойдёт с $y$, если время $t$ чуть-чуть (на бесконечно малую величину) увеличится?"

Пример

Пусть $y(t) = t^2$, то есть $y$ — это квадрат времени.

Если время изменилось на $dt = 0.0000001$ секунды, то:

$$dy = y(t + dt) - y(t) = (t + dt)^2 - t^2$$

Это изменение очень маленькое, но его можно посчитать.
А если мы возьмём предел при $dt \to 0$, то получим точную скорость изменения, то есть производную:

$$\frac{dy}{dt} = 2t$$

Аналогия:

Представь себе лупу, которая смотрит на график функции.

Если ты смотришь очень-очень близко (бесконечно близко), то любая кривая выглядит как прямая линия — и ты можешь найти её "наклон", то есть производную.

2. Разностные уравнения

Используются, если система наблюдается дискретно во времени (например, по дням, месяцам).

Общий вид:

$$y(k+1) = f(y(k), u(k), k)$$

• $k$ — дискретный шаг (например, день),

• $y(k)$ — состояние на шаге $k$,

• $u(k)$ — входное воздействие.

Пример: модель накопления денег

$$S(k+1) = S(k) + I(k) - C(k)$$

где:
$S$ — сумма на счёте,
$I$ — доход,
$C$ — расход.

3. Системы с запаздыванием

Учитывают задержки реакции объекта на воздействие.

$$y(t) = f(x(t - \tau))$$

где $\tau$ — запаздывание.

Пример: отопление здания — температура зависит не от текущего, а от предыдущего включения обогревателя.

Структура модели динамического объекта (state-space model)

$$\begin{cases} \dot{x}(t) = A x(t) + B u(t) \\ y(t) = C x(t) + D u(t) \end{cases}$$

• $x(t)$ — вектор состояния (все параметры, описывающие систему),

• $u(t)$ — управляющее воздействие (вход),

• $y(t)$ — наблюдаемый выход (результат),

• $A, B, C, D$ — матрицы, описывающие структуру системы.

Примеры динамических моделей

Температурный режим:

$$\frac{dT}{dt} = -\alpha (T - T_{\text{окр}}) + Q(t)$$

где:

• $T$ — температура объекта,

• $T_{\text{окр}}$ — температура окружающей среды,

• $Q(t)$ — источник тепла.

Модель движения автомобиля:

$$m \frac{dv}{dt} = F(t) - kv$$

где:

• $v$ — скорость,

• $F(t)$ — сила тяги,

• $k$ — сопротивление воздуха.

Как создаются динамические модели

1. Выделяют переменные: входы, выходы, состояния.

2. Определяют зависимости между ними — физические законы, экспериментальные данные.

3. Формализуют во времени — дифференциальные/разностные уравнения.

4. Проверяют и калибруют на реальных данных.

Для чего применяются динамические модели?

• Прогнозирование поведения системы.

• Управление объектом (автоматическое регулирование).

• Оптимизация параметров и процессов.

• Имитационное моделирование (на компьютере, без эксперимента в реальности).