Соотношение классических и нечетких множеств

Сначала для самых маленьких

Множество — это совокупность каких-то объектов, которые объединены по какому-то признаку.

Например:

• Множество всех студентов на курсе.
• Множество красных яблок.
• Множество книг на полке.

Элементы множества могут быть чем угодно: числами, словами, предметами, людьми. Главное, что мы можем сказать, принадлежит ли элемент этому множеству или нет.

Что такое классическое множество? Это самое привычное понимание множества, из школьной математики.

В классическом множестве:

• Каждый объект или принадлежит, или не принадлежит множеству.
• Нет промежуточных значений. Только да или нет.

Пример:

Множество совершеннолетних людей.
Человеку 18 лет и больше — он в множестве.
Человеку 17 лет — он не в множестве.
Всё чётко: либо в, либо вне.

А вот в нечетких множествах всё устроено мягче.

В реальной жизни мы часто имеем дело с ситуациями, где нет чёткой границы.

Например:
Множество высоких людей.
Что такое "высокий"? 180 см? 185? А 179?
У разных людей — свои представления. И здесь полезно использовать нечеткое множество.

Что такое функция принадлежности? Функция принадлежности показывает, насколько сильно элемент принадлежит нечеткому множеству.

Это как шкала, по которой мы оцениваем степень попадания элемента в понятие.

Например, пусть множество = "высокий человек". Функция принадлежности будет говорить:

• 160 см → 0 (не высокий)

• 175 см → 0.6 (вроде высокий, но не совсем)

• 185 см → 1 (однозначно высокий)

Такую зависимость можно нарисовать на графике: по оси X — рост, по оси Y — степень принадлежности.

В нечетком множестве каждый элемент может принадлежать множеству в какой-то степени — от 0 до 1:

• 0 — вообще не принадлежит.
• 1 — точно принадлежит.
• 0.5 — наполовину, частично.

Нечёткие множества могут рассматриваться как продолжение классических. В классическом случае элемент может относиться либо не относиться к множеству, тогда как к нечёткому множеству элемент может относиться как целиком, так и на половину, на четверть или на крошечную долю.

Например, говоря: «сейчас холодно» мы не имеем в виду страшный мороз, а говоря: «сейчас жарко» не имеем в виду испепеляющий зной. Обычно мы указываем, в какой степени сейчас жарко или холодно, обычно выражая это значение как температуру в градусах Цельсия.

Именно от вас зависит, как вы расположите реальные значения в диапазоне от 0 до 1. Считайте, что 0 и 1 – это процентные значения, записанные в десятичной системе. 1 соответствует 100% и присваивается наилучшему значению, тогда как 0 соответствует 0% и присваивается наихудшему значению.

Соотношение классических и нечетких множеств

1. Классические множества (четкие множества)

В классической (Булевой) теории множеств, множество $A$ определяется в терминах характеристической функции:

$$\chi_A(x) = \begin{cases} 1, & \text{если } x \in A \\ 0, & \text{если } x \notin A \end{cases}$$

То есть, функция $\chi_A : X \to \{0, 1\}$, где $X$ — универсальное множество.

Эта бинарность отражает строгое включение: каждый элемент либо принадлежит, либо не принадлежит множеству. Это соответствует двузначной логике (true/false, yes/no).

2. Нечеткие множества

Нечеткие множества (fuzzy sets), введённые Лотфи Заде в 1965 году, обобщают классические, позволяя степени принадлежности.

Нечеткое множество $\tilde{A}$ в универсальном множестве $X$ задаётся функцией принадлежности:

$$\mu_{\tilde{A}} : X \to [0, 1]$$

Здесь $\mu_{\tilde{A}}(x)$ — это степень принадлежности элемента $x$ множеству $\tilde{A}$. Значение:

• $\mu(x) = 1$: полная принадлежность

• $\mu(x) = 0$: полное отсутствие принадлежности

• $0 < \mu(x) < 1$: частичная принадлежность

3. Классические множества — частный случай нечетких

Если ограничить функцию принадлежности только значениями 0 и 1, нечеткое множество становится классическим:

$$\mu_{\tilde{A}}(x) \in \{0, 1\} \Rightarrow \tilde{A} \text{ — классическое множество}$$

Таким образом:

Любое классическое множество можно рассматривать как нечеткое с бинарной функцией принадлежности.

В этом смысле теория нечетких множеств обобщает классическую теорию, расширяя её на случаи нечётко определённых понятий и границ.

4. Логическое соответствие

• Классическая логика (двузначная) соответствует классическим множествам.

• Нечеткая логика (fuzzy logic) — это многозначная логика, соответствующая нечетким множествам.

Операции над нечеткими множествами (объединение, пересечение, дополнение) определяются через операции над функциями принадлежности:

• Объединение: $\mu_{A \cup B}(x) = \max(\mu_A(x), \mu_B(x))$

• Пересечение: $\mu_{A \cap B}(x) = \min(\mu_A(x), \mu_B(x))$

• Дополнение: $\mu_{\bar{A}}(x) = 1 - \mu_A(x)$

В классическом случае эти операции превращаются в обычные логические И, ИЛИ, НЕ.

5. Интерпретация и смысл

Классические множества предполагают жесткие границы — подход уместный для формально определённых систем.
Нечеткие множества моделируют плавные переходы и семантическую неопределённость, характерные для человеческого восприятия, языка, социокультурных и экспертных систем.

Зачем вообще нужны нечеткие множества?

Потому что в реальной жизни почти нет чётких границ.

• Температура 36.8 — «нормальная»?

• Доход 50 000 — «высокий»?

• Работа — «интересная»?

Все эти понятия размыты, и нечеткая логика помогает моделировать и описывать неопределённость в таких ситуациях.

Понятие нечеткого множества — эта попытка математической формализации нечеткой информации для построения ММ. В основе этого понятия лежит представление о том, что составляющие данное множество элементы, имеющие общее свойство, могут обладать этим свойством в различной степени и, следовательно, принадлежать к данному множеству с различной степенью.

Для нечеткого подмножества, являющегося расширением понятия множества в классическом смысле, на пространстве объектов X = {х} вводится уже не функционал четкого множества, а характеристическая функция, задающая для всех элементов степень наличия у них некоторого свойства, по которому они относятся к подмножеству А. Эта характеристическая функция для нечеткого множества традиционно носит название функции принадлежности.

Численное значение функции принадлежности характеризует степень принадлежности элемента некоторому нечеткому множеству, являющемуся в выражении естественного языка некоторой элементарной характеристикой явления (степени эффективности технологического режима, степени загрязнения среды, степени достоверности параметров модели и др.).

Нечеткое подмножество А множества X характеризуется функцией принадлежности μ_A : X —> (1, 0], которая ставит в соответствие каждому элементу х ∈ X число μ_A(х) из интервала [0, 1|. характеризующее степень принадлежности элемента х подмножеству А. Причем 0 и 1 представляют собой соответственно низшую и высшую степень принадлежности элемента к определенному подмножеству

Виды функций принадлежности

Есть разные способы задать, как именно возрастает или убывает степень принадлежности. Это и есть вид функции принадлежности.

Что такое функция принадлежности (напоминание кратко)

Функция принадлежности ${\mu }_A(x)$ задаёт степень принадлежности элемента $x$ множеству $A$, и её значения лежат в диапазоне от 0 до 1:

• ${\mu }_A(x)=1$ — полностью принадлежит,

• ${\mu }_A(x)=0$ — не принадлежит,

• ${\mu }_A(x)=0.5$ — принадлежит «наполовину» и т.д.

То, как именно эта степень изменяется в зависимости от $x$, и определяет вид функции принадлежности.

Основные виды

Это функция, в которой степень принадлежности μ(x) изменяется линейно (то есть по формуле прямой: μ(x)=kx+b.

Она может:

• увеличиваться: от 0 до 1,
• уменьшаться: от 1 до 0.

Треугольная (triangular)

Самая простая и интуитивная. Задаётся тремя параметрами: $a$, $b$, $c$ — где $b$ соответствует максимальной принадлежности (=1), а $a$ и $c$ — значениям, где принадлежность = 0.

$$\mu(x) = \begin{cases} 0, & x \le a \text{ или } x \ge c \\ \frac{x - a}{b - a}, & a < x < b \\ \frac{c - x}{c - b}, & b \le x < c \end{cases}$$

Пример: множество «средний рост» — 160–180–200 см.

Используется, когда нужно простое приближение с максимумом в одной точке.

Трапециевидная (trapezoidal)

Похожа на треугольную, но с «плоской» вершиной — т.е. в каком-то интервале принадлежность равна 1. Определяется четырьмя параметрами: $a, b, c, d$, где $[b, c]$ — зона полной принадлежности.

$$\mu(x) = \begin{cases} 0, & x \le a \text{ или } x \ge d \\ \frac{x - a}{b - a}, & a < x < b \\ 1, & b \le x \le c \\ \frac{d - x}{d - c}, & c < x < d \end{cases}$$

Пример: множество «рабочий возраст» — с 25 до 60 лет полнота, от 20 до 25 и от 60 до 65 — постепенный переход.

Удобна в задачах, где определён чёткий интервал «нормальности».

Гауссова (gaussian)

Плавная, колоколообразная кривая, заданная формулой:

$$\mu(x) = \exp\left(-\frac{(x - c)^2}{2\sigma^2}\right)$$

где:

• $c$ — центр (максимум),

• $\sigma$ — ширина «расплывчатости».

Пример: множество «типичная температура тела» с максимумом при 36.6°С.

Хорошо подходит для ситуаций с «мягкими» переходами и моделирования естественной неопределённости.

Сигмоидальная (sigmoidal)

Используется, когда нужно мягкое нарастание или убывание степени принадлежности:

$$\mu(x) = \frac{1}{1 + e^{-a(x - c)}}$$

где $a$ — крутизна кривой, $c$ — точка перегиба.

Применяется, когда нет резких границ между «принадлежит» и «не принадлежит», например: "высокая зарплата".

Параболическая (quadratic) и бета-функции

Используются, когда необходимо обеспечить плавность первой и второй производной, например, в задачах управления или робототехники. Позволяют более точно моделировать кривые переходы и обладают хорошими гладкостными свойствами.

Пользовательская (custom)

В реальных задачах функции принадлежности могут задаваться на основе экспертных данных, опросов, либо аппроксимироваться на основе экспериментальных точек. Такие функции часто получаются в виде произвольной кривой, построенной вручную или с помощью машинного обучения.

Как выбрать нужную функцию?

• Если нужно простое приближение — треугольная или трапециевидная.

• Если важны плавные переходы — гауссова или сигмоидальная.

• Если требуется точная аппроксимация или кривая из данных — пользовательская.

• Если нужна гладкость (например, в управлении) — параболическая, бета- или гауссова.

Вид функции принадлежности — это способ выразить размытые границы и плавные переходы между "да" и "нет". То, какую именно функцию использовать, зависит от природы задачи: насколько размытое понятие, есть ли у него центральная зона, нужно ли программировать или использовать экспертные оценки.

Способы представления и методы получения функций принадлежности

Способы представления функции принадлежности

Функция принадлежности $\mu_A(x)$ может быть задана разными способами — и выбор зависит от контекста задачи: нужна ли точность, есть ли данные, кто будет использовать модель.

Аналитическое (формульное) представление

Функция задаётся формулой, например:

• $\mu(x) = \frac{x - a}{b - a}$ — линейная возрастающая,

• $\mu(x) = \exp\left(-\frac{(x - c)^2}{2\sigma^2}\right)$ — гауссова,

• или любая другая формула, выражающая степень принадлежности.

Применяется, когда нужно программировать или интегрировать нечеткие множества в вычислительные системы.

Табличное представление

Функция задаётся набором пар (x, μ(x)).

Пример:

Значения между точками можно интерполировать (например, линейно). Интерполяция — это способ "заполнить пробелы" между данными, чтобы построить непрерывную зависимость. Удобно, если функция получена по эмпирическим данным или экспертным оценкам.

Графическое представление

Часто используется график, на котором по оси X — элементы множества (например, рост, температура), а по оси Y — степень принадлежности (от 0 до 1). Такой способ нагляден и интуитивен, особенно когда важно визуально показать размытые границы.

Методы получения функций принадлежности

Существует несколько подходов:

1. Экспертный метод

Один из самых распространённых в гуманитарных, социальных, управленческих задачах.

• Эксперт (или группа экспертов) оценивает, как сильно элементы принадлежат понятию.

• Полученные значения используются для задания функции: вручную, в таблице или графически.

Пример: социолог оценивает, насколько доход 50 тыс. руб. соответствует понятию «средний доход».

2. Эмпирический метод (по данным)

Если есть реальные наблюдения, можно построить функцию принадлежности по частотам или по результатам опросов.

Примеры:

• По числу респондентов, считающих какой-то признак «приемлемым»,

• По доле случаев, когда значение связано с определённой категорией.

Используется в маркетинге, образовании, психологии, экономике.

3. Функционально-аналитический (выбор из шаблонов)

Функция выбирается из библиотеки стандартных функций (треугольных, гауссовых и др.) с заданием параметров.

• Пользователь указывает значения, где принадлежность = 1, = 0, и форма (треугольник, трапеция).

• Программа автоматически строит функцию.

Подходит для прикладных задач, где требуется быстрая генерация без глубоких вычислений.

4. Алгоритмический (обучаемый)

Функция принадлежности определяется автоматически из набора данных:

• С помощью кластеризации (например, алгоритм C-means),

• Или через нейросети, регрессию, оптимизацию.

Метод сложный, но позволяет точно настраивать модель на больших выборках. Используется в интеллектуальных системах и машинном обучении.

5. Инженерный (на основе физических, технических ограничений)

В технических системах функции принадлежности часто задаются по заранее известным допускам, границам, нормам.

Например, температура 60–90°С — «нормальная» для работы двигателя, вне этого — степень принадлежности резко падает.

Важно понимать: функция принадлежности — это не единственно правильная величина, она может быть субъективной или эмпирической. Главное, чтобы она отражала смысл и структуру неопределённости в конкретной задаче.

*********************************************************************************************************************************************************

Итого:

Классические множества — это частный случай нечетких множеств.

В классических множествах элемент либо принадлежит, либо не принадлежит множеству:

$$\mu_A(x) = \begin{cases} 1, & \text{если } x \in A \\ 0, & \text{если } x \notin A \end{cases}$$

Это функция принадлежности, принимающая только два значения: 0 или 1. Она как выключатель: либо "да", либо "нет", ничего посередине.

А в нечетких множествах функция принадлежности может принимать любое значение от 0 до 1:

$$\mu_{\tilde{A}}(x) \in [0, 1]$$

То есть:

• $\mu(x) = 0$ → не принадлежит,

• $\mu(x) = 1$ → полностью принадлежит,

• $\mu(x) = 0.3$ → частично принадлежит,

• и так далее.

Пример:

Классическое множество: «совершеннолетние люди».
Человеку 17 — не принадлежит (0), 18 — принадлежит (1). Граница чёткая.

Нечеткое множество: «высокие люди».
Рост 160 — низкая принадлежность (например, 0.2),
рост 175 — средняя (0.6),
рост 190 — высокая (1).

Соотношение:

Каждое классическое множество можно представить как нечеткое, у которого функция принадлежности принимает только 0 и 1.

Это как прямоугольник и квадрат:
все квадраты — прямоугольники,
но не все прямоугольники — квадраты.

Точно так же:
все классические множества — нечеткие (с "жёсткой" функцией),
но не все нечеткие множества — классические.

Логическое обобщение

То есть:

• Классическое множество — это строгое «принадлежит / не принадлежит».

• Нечеткое множество — допускает частичную принадлежность.

• Классическое множество — это частный случай нечеткого, с «жёсткой» функцией принадлежности.