Требования, предъявляемые к математическим моделям

Моделирование присутствует почти во всех видах творческой активности людей различных «специальностей» — исследователей и предпринимателей, политиков и военачальников. Привнесение в эти сферы точного знания помогает ограничить интуитивное умозрительное «моделирование», расширяет поле приложений рациональных методов. И математическое моделирование плодотворно лишь при выполнении хорошо известных профессиональных требований: четкая формулировка основных понятий и предположений, апостериорный анализ адекватности используемых моделей, гарантированная точность вычислительных алгоритмов и т. д.

Если говорить о моделировании систем с участием «человеческого фактора», т. е. трудноформализуемых объектов, то к этим требованиям необходимо добавить аккуратное разграничение математических и житейских терминов (звучащих одинаково, но имеющих разный смысл), осторожное применение уже готового математического аппарата к изучению явлений и процессов (предпочтителен путь «от задачи к методу», а не наоборот) и ряд других.

Решая проблемы информационного общества, было бы наивно уповать только на мощь компьютеров и иных средств информатики. Постоянное совершенствование триады математического моделирования и ее внедрение в современные информационно-моделирующие системы — методологический императив. Лишь его выполнение дает возможность получать так нужную нам высокотехнологичную, конкурентоспособную и разнообразную материальную и интеллектуальную продукцию.

Требования, предъявляемые к математическим моделям

Математическое моделирование должно обеспечиваться выполнением следующих требований: четкая формулировка основных понятий и предположений, основанная на опыте (апостериорный), анализ адекватности используемых моделей, гарантированная точность вычислительных алгоритмов и т.д. При моделировании трудноформализуемых объектов нужно дополнительно учитывать разграничение математических и нематематических терминов, а также особенности использования существующего математического аппарата к изучению объектов.

Основными требованиями, предъявляемыми к математическим моделям, являются требования адекватности, универсальности и экономичности.

Модель должна соответствовать цели моделирования. Модель предопределяется поставленной задачей (целью). Поэтому создаваемая модель должна воспроизводить (отображать) только те свойства и аспекты изучаемого (создаваемого) объекта, которые являются существенными для решения конкретной задачи исследования или проектирования. Следовательно, для обеспечения глубокого, полноценного и всестороннего изучения объекта требуется разработка комплекса (совокупности, ансамбля) его математических моделей, каждая из которых будет отображать определенные стороны, свойства и особенности оригинала.

Адекватность. Модель считается адекватной, если она отображает заданные свойства объекта (процесса) с требуемой точностью. Математическая модель не может быть адекватной на всем множестве значений ее параметров. Всегда существует область адекватности модели (ОА), которая задается диапазонами значений параметров модели (ΔВ₁ и ΔВ₂), в пределах которых она должна быть адекватной реальному объекту. Точность модели различна в разных условиях функционирования объекта. Эти условия характеризуются внешними параметрами. В пространстве внешних параметров выделить область адекватности модели, где погрешность меньше заданной предельно допустимой погрешности. Определение области адекватности моделей — сложная процедура, требующая больших вычислительных затрат, которые быстро растут с увеличением размерности пространства внешних параметров. Эта задача по объему может значительно превосходить задачу параметрической оптимизации самой модели, поэтому для вновь проектируемых объектов может не решаться.

Универсальность. Определяется в основном числом и составом учитываемых в модели внешних и выходных параметров.

Робастность модели означает ее устойчивость к погрешностям (неточностям) в исходных данных, т.е. достаточная точность результатов решения задачи, надежность функционирования модели.

Экономичность. Модель характеризуется затратами вычислительных ресурсов для ее реализации — затратами машинного времени и памяти.

Простота. Модель, при которой желаемый результат достигается за то же время с той же точностью при учете меньшего количества факторов при расчете, называется простой.

Способность к совершенствованию модели без ее коренной переделки.

Простота форм исходных данных и их заполнения при выдаче задания на расчет.

Выделяют еще одно важное требование к ней — потенциальность (предсказательность). «Под моделью мы будем понимать упрощенное, если угодно, упакованное знание, несущее вполне определенную, ограниченную информацию о предмете (явлении), отражающее те или иные его отдельные свойства. Модель можно рассматривать как специальную форму кодирования информации. В отличие от обычного кодирования, когда известна вся исходная информация и мы лишь переводим ее на другой язык, модель, какой бы язык она ни использовала, кодирует и ту информацию, которую люди раньше не знали. Можно сказать, что модель содержит в себе потенциальное знание, которое человек, исследуя ее, может приобрести, сделать наглядным и использовать в своих практических жизненных нуждах».  Т.е. потенциальность - возможность получения новых знаний об исследуемом объекте с помощью применения модели.

Способы обеспечения универсальности модели

Универсальность определяется в основном числом и составом учитываемых в модели внешних и выходных параметров.

Универсальность - приложимость моделей к объектам принципиально различной природы. Так, предположения типа «скорость изменения величины пропорциональна значению самой величины (или некоторой функции от нее)» широко используются в далеких друг от друга областях знаний.

Степень универсальности математической модели определяется ее применимостью к анализу многочисленной группы однотипных объектов, к их анализу в одном или многих режимах функционирования. В противном случае использование машинных методов станет затруднительным.

В простейшем случае модель объекта может быть представлена в виде функциональной зависимости между скалярными переменными воздействия X и реакции Y в виде Y = f (X), где Y — некоторое число.

В более сложном случае такая модель недостаточна. Например, в случае, когда реакция Y зависит от воздействия, которое само является функцией X (t). Тогда реакция Y является функционалом, отображающим закон преобразования функции X (t) в число Y, и модель объекта может быть представлена в виде Y = F (X (t)), Здесь F - закон преобразования, которому нужно подвергнуть функцию X (t), чтобы получить переменную Y.

Более общим является случай, когда и воздействие, и реакция объекта представляют собой функции одного и того же или разных аргументов. Правило преобразования одной функции в другую называют оператором. Оператор А представляет собой совокупность математических или логических операций, устанавливающих соответствие между двумя функциями. В случае, когда воздействие представляет собой функцию X (s), а реакция — функцию Y (t), модель объекта представляется в виде уравнения

Y (t) - А {(X (s)}, или Y (t) = A_tХ (s).

Универсальность модели — это её способность корректно описывать широкий класс объектов или ситуаций, а не только одну конкретную.

Проще говоря, модель универсальна, если она применима в разных условиях, для разных входных данных и в разных случаях, сохраняя адекватность и точность.

Способы обеспечения универсальности модели:

Параметризация. В модель вводятся переменные параметры, которые можно настраивать под разные объекты: например: масса, скорость, температура, сопротивление и т. д. Это позволяет использовать одну и ту же структуру модели, просто подставляя разные значения.

Пример: модель автомобиля, где масса, аэродинамика и мощность — параметры, которые можно менять под конкретную машину.

Модульность. Модель строится из отдельных блоков (модулей), каждый из которых можно заменить или адаптировать. Это удобно при усложнении модели или адаптации под новый объект.

Пример: в экономической модели один блок описывает налоги, другой — спрос, и каждый можно менять независимо.

Нормализация и масштабирование. Приведение переменных к унифицированным единицам (например, от 0 до 1). Упрощает работу модели с разными величинами и диапазонами значений.

Пример: в нейросетях все данные обычно нормализуют, чтобы не зависеть от масштаба.

Адаптивность модели. Модель может подстраиваться под данные и изменяющиеся условия. Это реализуется через алгоритмы обучения, обратной связи и т. д.

Пример: адаптивный регулятор в технике, или обучающаяся модель в машинном обучении.

Учет случайностей и неопределённости. Введение в модель стохастических (вероятностных) элементов, если невозможно всё точно описать. Это делает модель устойчивой к различным реальным сценариям.

Пример: погодно-климатическая модель включает вероятность дождя, а не только температуру.

Калибровка и валидация. Калибровка: настройка параметров модели по реальным данным. Валидация: проверка модели на независимых данных. Это пgозволяет адаптировать модель к разным случаям, не теряя точности.

Универсальная модель:

• гнётся, но не ломается,

• настраивается, но сохраняет суть,

• работает не только в теории, но и в жизни.

Методы оценки точности модели

Точность математической модели — ее свойство, отражающее степень совпадения предсказанных с ее помощью значений параметров объекта с истинными значениями этих параметров. Истинные значения параметров объекта обычно отождествляют с экспериментально полученными. Однако погрешности эксперимента во многих случаях оказываются соизмеримыми с погрешностями математической модели, а иногда и заметно их превышают. 

Основные методы оценки точности модели

• запускаем модель,
• сравниваем результат с измерениями, экспериментом, статистикой.

Оценка:

$$\text{Ошибка}=\text{Реальное значение}-\text{Модельное значение}$$

2.Абсолютная и относительная ошибка

Абсолютная ошибка:

$${\epsilon }_{\text{абс}}=\mathrm{\mid }{y}_{\text{реальное}}-y_{\text{модель}}\mathrm{\mid }$$

$$\mathrm{Относительная\; ошибка\; (\%):}$$

$${\epsilon }_{\text{отн}}=\mid \frac{y_{\text{реальное}}-y_{\text{модель}}}{y_{\text{реальное}}}\mid \cdot 100\mathrm{\%}$$

3. Среднеквадратичная ошибка (MSE)

Оценивает, насколько в среднем модель ошибается:

$$\text{MSE} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (y_i - \hat{y}_i)^2$$

где:

• $y_i$ — реальное значение,

• $\hat{y}_i$ — предсказание модели.

Используется в машинном обучении, численном моделировании.

4. Средняя абсолютная ошибка (MAE)

Более “человеческая” мера:

$$\text{MAE}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n\mathrm{\mid }{y}_i-{\widehat{y}}_i\mathrm{\mid }$$

5. Коэффициент детерминации $R^2$${\mathrm{<br>}}^{}$

Оценивает, насколько хорошо модель объясняет разброс данных:

$$R^2 = 1 - \frac{\sum (y_i - \hat{y}_i)^2}{\sum (y_i - \bar{y})^2}$$

• $R^2 = 1$ — идеальное совпадение,

• $R^2 = 0$ — модель бесполезна.

6. Графический анализ

• Построение графика ошибок

• Сравнение модели и фактических данных по времени

• Построение остатков (разности)

Часто помогает заметить систематические ошибки (например, модель всегда завышает).

7. Кросс-валидация (для статистических и ML-моделей)

Разделение данных на:

• обучающую выборку

• тестовую выборку

Модель обучается на одной части, проверяется на другой. Это позволяет оценить, насколько она обобщается на новые данные.

Методы оценки точности помогают:

• понять, насколько модель адекватна реальности

• выявить её сильные и слабые стороны

• улучшить параметры или структуру модели

Область адекватности

Область адекватности модели — это множество условий, параметров или значений переменных, при которых модель достоверно отражает поведение реального объекта или процесса. Т.е. это те условия, в которых модель работает правильно. За пределами этой области она может давать неправильные результаты или терять смысл.

Пример:

Модель движения тела с постоянной скоростью:

$$x(t) = x_0 + vt$$

Адекватна, пока скорость действительно постоянна и отсутствуют силы трения, сопротивления и т. п.

Если тело начинает ускоряться или тормозить, то модель выходит за пределы области адекватности — она уже не описывает поведение объекта правильно.

Формально область адекватности можно описать:

• диапазонами переменных (например: $0 < t < 10$, $T < 500 \, \text{К}$)

• допущениями и ограничениями (например: идеальный газ, линейная зависимость, отсутствие шума)

• условиями эксперимента или среды

Как определить область адекватности?

1. Проверка модели на реальных данных
   → Где модель начинает «врать» — там граница.

2. Сравнение с более точными моделями
   → Где простая модель перестаёт соответствовать сложной — там предел.

3. Анализ допущений
   → Например, модель линейна — значит, она адекватна только при слабых отклонениях от исходных условий.

Если использовать модель вне её области адекватности, могут возникнуть:

• грубые ошибки

• неверные прогнозы

• опасные инженерные решения

Степень адекватности модели объекту определяется постановкой и корректностью решений задачи проектирования.

Проверку адекватности (соответствия) математической модели исследуемому процессу необходимо проводить по той причине, что любая модель является лишь приближенным отражением реального процесса вследствие допущений, всегда принимаемых при составлении математической модели. На этом этапе устанавливается, насколько принятые допущения правомерны, и тем самым определяется, применима ли полученная модель для исследования процесса. При необходимости математическая .модель корректируется. Для этого используются результаты измерений на самом объекте или на его физической модели, воспроизводящей в небольших масштабах основные физические закономерности объекта моделирования. Поскольку метод математического моделирования позволяет расчленять сложные процессы на более простые составляющие, то перечисленные задачи могут решаться несколько раз (на отдельных этапах).

Критерии оценки экономичности модели

Экономичность математической модели определяется прежде всего затратами машинного времени. Показателем экономичности математической модели может служить также количество внутренних параметров, используемых в ней. Чем больше таких параметров, тем больше затраты машинной памяти и тем больше усилий требуется для получения сведений об их численных значениях.

Экономичность модели — это её способность достигать поставленных целей с минимальными затратами ресурсов, таких как:

• вычислительные ресурсы (время, память, процессор)

• трудозатраты на разработку, отладку и сопровождение

• объём и сложность данных

• финансовые затраты

То есть насколько «дёшево» и просто можно получить нужный результат с помощью этой модели.

Основные критерии оценки экономичности модели:

1. Вычислительная сложность

• Сколько времени требуется на выполнение модели?

• Можно ли её упростить без потери точности?

Модель, которая работает за 1 секунду, экономичнее, чем та, что требует 5 часов вычислений при том же качестве результата.

2. Объём входных данных

• Сколько данных требуется для запуска модели?

• Насколько легко получить эти данные на практике?

Чем меньше и доступнее данные — тем экономичнее модель.

3. Число параметров модели

• Сколько переменных/коэффициентов нужно настраивать?

• Насколько чувствительна модель к ним?

Модель с 3 параметрами экономичнее, чем аналог с 25, если точность одинакова.

4. Простота реализации

• Насколько легко модель реализовать в программном коде?

• Требуется ли специализированное ПО, оборудование или специалисты?

Если модель можно реализовать в Excel, а не в суперкомпьютере — она экономичнее.

5. Затраты на создание и поддержку

• Сколько времени и ресурсов нужно на разработку модели?

• Сложно ли её модифицировать и сопровождать?

Экономичная модель легко адаптируется к новым условиям без полной переделки.

6. Соотношение "точность / сложность"

• Насколько результат оправдывает затраты?

• Можно ли получить почти такой же результат с более простой моделью?

Золотое правило: не использовать пушку, чтобы убить комара.

Экономичная модель:

• быстрая,

• проста,

• доступна по данным и реализации,

• эффективна по затратам и результатам.